第二章2.6距离的计算一、选择题1．以下说法错误的是()A．两平行平面之间的距离就是一个平面内任一点到另一平面的距离B．点P到面α的距离公式是d＝|PA·|，其中A为面α内任一点，n为面α的法向量C．点P到直线l的距离公式是d＝|PA·|，其中A为直线l上任一点，a为l的法向量D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|PQ|的最小值，就是l1与l2的距离[答案]C[解析]选项C中，a必须与l以及PA共面时，此公式才成立．2．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A．B．C．2D．[答案]C[解析]如图所示， |AC|＝|AB|＝|BD|＝1，∴由DC＝DB＋BA＋AC得|DC|2＝DB2＋BA2＋AC2＋2DB·BA＋2DB·AC＋2BA·AC＝|DB|2＋|BA|2＋|AC|2＋2DB·AC＝3＋2cos(180°－120°)＝4，∴|DC|＝2.3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1则点A到平面A1BC的距离为()A．B．C．D．[答案]B4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是()A．B．C．3D．2[答案]A5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A．B．C．D．[答案]D[解析]由A1B1∥平面D1EF知，点G到平面D1EF的距离即为直线A1B1上任一点到平面D1EF的距离，可求点A1或B1到平面D1EF的距离．6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是()A．B．C．D．[答案]D[解析]如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)．所以AD1＝(－1,0,1)，MN＝(－，0，)．所以MN＝AD1.又直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1.又MN平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为AD1＝(－1,0,1)，D1C＝(0,1，－1)，AC＝(－1,1,0)．设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1,1,1)．又因为AM＝(1,1，)－(1,0,0)＝(0,1，)，所以|AM|＝＝.所以点M到平面ACD1的距离为＝×＝.简解：延长NM交CB的延长线于H，连AH、D1H，MH∥平面ACD1，∴M到平面ACD的距离即为H到平面ACD1的距离．则VD1－AHC＝×＝＝VH－ACD1＝×h∴h＝.二、填空题7．正方形ABCD与ABEF的边长都为a，若二面角E－AB－C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为______________．[答案]a[解析]EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝A．8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为________________．[答案][解析]以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(0，，0)，E(1，，1)，B(1,1,0)．∴AE＝(0，，1)，AF＝(－1，，0)．设平面AEC1F的法向量为n＝(1，λ，μ)，则n·AE＝0，n·AF＝0.∴∴∴n＝(1,2，－1)．又 AB＝(0,1,0)，∴点B到平面AEC1F的距离d＝＝＝.三、解答题9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求BF的长．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设F(0,0，z)， AEC1F为平行四边形，∴由AF＝EC1得(－2,0，z)＝(－2,0,2)．∴z＝2，∴F(0,0,2)，BF＝(－2，－4,2)．于是|BF|＝2，即BF的长为2.10．已知三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，问a为何值时，点C到平面AB1D的距离为1.[解析]建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可知A(a，，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，)，于是有AB1＝(－a，－，a)，B1D＝(0，a，－)，AC＝(－a，，0)．设n＝(x，y，z)为平面AB1D的法向量，则⇒.令y＝1，可得n＝(，1,2)．所以点C到平面AB1D的距离d＝|AC·|＝A．令a＝1，解得a＝2.即a＝2时，点C到平面AB1D的距离为1.一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A．B．C．D．[答案]B[解析]以DA、DC、DD1为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，C1O＝C1A1＝，平面ABC1D1的法向量DA1＝(1,0,1)，点O到...
