第2课时等差数列的性质【基础练习】1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7【答案】B【解析】∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A．10B．20C．30D．40【答案】A【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.3．(2019年四川成都期末)等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为()A．3,7,9,15,100B．4,10,12,34,100C．5,11,16,30,100D．4,10,13,43,100【答案】B【解析】由等差数列的通项公式得公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3,9,11,33,99，n的所有可能取值为4,10,12,34,100.故选B．4．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝()A．20B．25C．10D．15【答案】D【解析】由等差数列的性质可得a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.故选D．5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.【答案】18【解析】根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18.6．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.【答案】15【解析】∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a3＋a15)＝×6＝15.7．已知等差数列{an}的公差d＞0且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．【解析】由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又a3a7＝－12，∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两个根．又d＞0，∴a3＝－6，a7＝2.1∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.8．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则整理得解得故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.【能力提升】9．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25【答案】B【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.故选B．10．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列是等差数列，则a4等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】令bn＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴2b4＝b6＋b2＝，b4＝.∵b4＝，∴a4＝.11．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根【答案】A【解析】∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3.∴方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．12．(2019年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.【答案】19【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.13．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，求证：△ABC为正三角形．【证明】∵，，成等差数列，∴＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b.又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0.∴a＝b＝c.故△ABC为正三角形．23
