双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为F1(-,0),F2(,0),-=1,所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,即3-1<0,解得-2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2016·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点1的双曲线的右支,方程为-=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.4.(2016·青岛高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.1+B.1±C.D.±1【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,=2c.所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1±.又e>1,所以e=1+.5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两2点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.答案:-=17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),3由得(b2-3a2)y2+2b2cy+3b4=0,因为b2-3a2≠0,所以y1+y2=,y1y2=,由=4得y1=-4y2,所以-3y2=,-4=,所以y2=,代入-4=,得16c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=,所以e=.答案:8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.【解析】由消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,4所以5m2=5,所以m=±1.答案:±1【补偿训练】双曲线-=...
