4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(S(α＋β))tan(α－β)＝，(T(α－β))tan(α＋β)＝.(T(α＋β))2.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα，(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)tan2α＝.(T2α)【知识拓展】1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(×)(3)若α＋β＝45°，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.(√)(4)对任意角α都有1＋sinα＝(sin＋cos)2.(√)(5)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(6)在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.(√)1.tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.1答案解析 tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.2.(2016·四川)cos2－sin2＝.答案解析由题意可知，cos2－sin2＝cos＝(二倍角公式).3.(2016·全国丙卷改编)若tanθ＝－，则cos2θ＝.答案解析tanθ＝－，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.4.(2015·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为.答案3解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为.答案5解析由f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，所以当sinx＝1时函数的最大值为5.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用例1(2016·盐城模拟)已知α为锐角，cos(α＋)＝.(1)求tan(α＋)的值；(2)求sin(2α＋)的值.解(1)因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，所以sin(α＋)＝＝，所以tan(α＋)＝＝2.2(2)因为sin(2α＋)＝sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos(2α＋)＝cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1＝－，所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)(2016·全国丙卷改编)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝.(2)计算：的值为.答案(1)(2)解析(1)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.(2)＝＝＝＝.题型二和差公式的综合应用命题点1角的变换例2(1)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.(2)(2016·镇江期末)由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为.答案(1)(2)－解析(1)依题意得sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β).因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.(2)由sin36°＝cos54°，得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°·cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝＝，cos2016°＝cos(6×360°－144°)＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－.命题点2三角函数式的变形3例3(1)(2016·无锡调研)若tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝.答案－解析方法一因为tanα＝，所以tan2α＝＝＝.又tan(α－β)＝＝＝－，故tanβ＝1.所以tan(β－2α)＝＝＝－.方法二tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－＝－＝－.(2)求值：－sin10°(－tan5°).解原式＝－sin10°(－)＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.引申探究化简：(0<θ<π).解 0<<，∴＝2sin，又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2＝2sin(sin＋cos)∴原式＝＝－co...
