高中数学 第4章 导数及其应用 4.2.1 几个幂函数的导数 4.2.2 一些初等函数的导数表应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

4.2.1几个幂函数的导数4.2.2一些初等函数的导数表[A基础达标]1．函数y＝的导数是()A．B．－C．－D．解析：选D.因为＝tanx，所以由导数公式表可知(tanx)′＝.2．下列结论中不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，y′＝－C．若y＝－，则y′＝－D．若y＝3x，则y′＝3解析：选B.因为y′＝()′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－，所以B错误．3．若f(x)＝sinx，则f′(2π)等于()A．1B．－1C．0D．cosx解析：选A.因为f(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx，所以f′(2π)＝cos2π＝1.4．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD．解析：选A.y′＝(ex)′＝ex，所以当x＝0时，y′＝e0＝1，故y＝ex在A(0，1)处的切线斜率为1，选A.5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A.y′＝(x4)′＝4x3.设切点为(x0，y0)，则4x×(－)＝－1，所以x0＝1.所以切点为(1，1)．所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.6．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选A.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，所以周期为4，故f2016(x)＝f4(x)＝sinx．故选A.7．已知函数f(x)＝3x，则f′(0)＝________．解析：f′(x)＝3xln3，则f′(0)＝ln3.答案：ln38．已知f(x)＝lnx，且f′(x0)＝，则x0＝________．1解析：f′(x)＝，所以f′(x0)＝，又f′(x0)＝，所以＝，所以x0＝x.所以x0＝0(舍)或x0＝1.答案：19．y＝的斜率为－1的切线方程为________．解析：令y′＝－＝－1，得x＝±1.所以切点为(1，1)或(－1，－1)．所以切线方程为y－1＝－(x－1)或y＋1＝－(x＋1)．即x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.答案：x＋y－2＝0或x＋y＋2＝010．求下列函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝logx；(5)y＝2cos2－1.解：(1)因为y′＝c′＝0，所以y′＝2′＝0.(2)因为y′＝(xn)′＝n·xn－1，所以y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)因为y′＝(ax)′＝ax·lna，所以y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)因为y′＝(logax)′＝，所以y′＝(logx)′＝＝－.(5)因为y＝2cos2－1＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.[B能力提升]11．求曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．解：因为y＝，所以y′＝－，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－＝－.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋4y＋6＝0.12．(选做题)已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．23