高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式中的母题及其解答技巧 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式≤基本不等式的使用条件：①一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；②二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；③三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用结论(1)＋≥2(a，b同号)；(2)＋≤－2(a，b异号)；(3)≤≤≤(a＞0，b＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x＞0，y＞0，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”)(2)如果x＞0，y＞0，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【母题一】若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．【解析】由于x＞0，y＞0，则x＋y≥2，所以xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81．【答案】81【变式】1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4【解析】 x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．B．C．D．【解析】 0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝．当x＝1－x，即x＝时取等号．【答案】B3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为__________．1【解析】 3a＋b＝9，∴a＋b＝2≥2，得ab≤1，∴f(ab)＝3ab≤3．【答案】34．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．【解析】依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20．【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项【母题二】已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．【解析】 t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．【答案】－2解答技巧三：凑项【母题三】若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为________．【解析】 x＞2，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时取等号．【答案】4解答技巧四：凑系数【母题四】若0＜x＜，则函数y＝x(8－3x)的最大值为________．【解析】 x＞2，∴y＝(3x)(8－3x)≤2＝，当且仅当x＝时取等号．【答案】【变式】1．函数y＝(x＞1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2【解析】 x＞1，∴x－1＞0．∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2．当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．【答案】A2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．【解析】 x＞1，∴x－1＞0．又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．则a≤3，所以a的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．2【解析】＝＝＝(a－b)＋≥2．当且仅当a－b＝时，取等号．【答案】24．已知函数f(x)＝．(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【解】(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0．由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2．由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－．(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是．类型...