第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时利用向量求空间角课后篇巩固提升基础达标练1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.答案D2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.5√2266B.-5√2266C.5√2222D.-5√2222解析⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而cos⃗AB,⃗CD=⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=53×√22=5√2266,故直线AB和CD所成角的余弦值为5√2266.答案A3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故⃗AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,√3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),根据m·⃗AB1=0,m·⃗AC1=0,解得m=(3,-√3,2),cos=m·⃗AA1|m||⃗AA1|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.答案A4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E(0,12,12),∴⃗AE=(0,12,12),易知⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<⃗AD,⃗AE>=√22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.答案B5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16B.14C.-16D.-14解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴⃗MN=(-1,1,2),⃗OD1=(-1,-2,1).则cos<⃗MN,⃗OD1>=⃗MN·⃗OD1|⃗MN||⃗OD1|=1√6×√6=16.∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.答案A6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),⃗EA=(2,-1,-2),⃗DA1=(2,0,4),⃗DE=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·⃗DA1=2x+4z=0,n·⃗DE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sinθ=cos<⃗EA,n>=|⃗EA·n|⃗EA||n||=4√9×√9=49.∴直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.答案497.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则⃗A1D=(2,0,-2),⃗A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗A1D=0,n·⃗A1E=0.则{2x-2z=0,2y-z=0,即{x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=n·m|n||m|=23.设平面A1ED与平面ABCD的夹角为θ,则cosθ=|cos|=23.答案238.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.解析平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则{-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,则x=a3,y=a4,∴m=(a3,a4,1).由题意得|cos|=1√a29+a216+1=√22.又因为a>0,所以a=125.答案1259.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),⃗SC=(2,2,-2), AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为⃗AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<⃗SC,⃗AB>|=|⃗SC·⃗AB||⃗SC||⃗AB|=√33,故cosθ=√63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为√63.(2)平面SAB的...
