课时跟踪检测（六）空间向量的运算一、基本能力达标1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选A(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1，(BC＋BB1)－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1.故选A.2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2BA·ACB．2AD·BDC．2FG·CAD．2EF·CB解析：选B2BA·AC＝－2a2cos60°＝－a2,2AD·BD＝2DA·DB＝2a2cos60°＝a2,2FG·CA＝AC·CA＝－a2,2EF·CB＝BD·CB＝－BD·BC＝－a2，故选B.3.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则AB＋(BD＋BC)＝()A．ANB．CNC．BCD.BC解析：选AAB＋(BD＋BC)＝AB＋BN＝AN.4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝AC·AD＝AB·AD＝0，则△BCD为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：选BBD＝BA＋AD，BC＝BA＋AC，CD＝CA＋AD，∴cos〈BD，BC〉＝＝＞0，∴〈BD，BC〉为锐角，同理cos〈CB，CD〉＞0，∴∠BCD为锐角，cos〈DB，DC〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．5．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若PA＋PB＋PC＋PD＝xPE，则x＝________.解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.∴PA＋PB＋PC＋PD＝(PA＋PD)＋(PB＋PC)＝2PN＋2PM＝2(PN＋PM)＝4PE.答案：416.如图所示，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．解析：∵CD＝CA＋AB＋BD＝AB－AC＋BD，∴CD2＝(AB－AC＋BD)2＝AB2＋AC2＋BD2－2AB·AC＋2AB·BD－2AC·BD＝16＋36＋64＝116，∴|CD|＝2.答案：27．在四面体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且|OA|＝1，|OB|＝2，|OC|＝3，G为△ABC的重心，求OG·(OA＋OB＋OC)的值．解：∵OG＝OA＋AG＝OA＋(AC＋AB)＝(OA＋OB＋OC)，∴OG·(OA＋OB＋OC)＝(OA＋OB＋OC)2＝(|OA|2＋|OB|2＋|OC|2＋2OA·OB＋2OA·OC＋2OB·OC)＝(1＋4＋9)＝.8.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．解：(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.∵BB1⊥平面ABC，∴BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.又△ABC为正三角形，∴〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.∵AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)由(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB12＝BB12－1.又|AB1|＝＝＝|BC1|，∴cos〈AB1，BC1〉＝＝，∴|BB1|＝2，即侧棱长为2.二、综合能力提升1．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF＝()A．AA1＋AB＋ADB.AA1＋AB＋ADC.AA1＋AB＋ADD.AA1＋AB＋AD解析：选D如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝＝AA1＋AB＋AD，故选D.2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．90°解析：选Ba·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，2|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．解析：AB＝AC＋CD＋DB，∴CD·AB＝CD·(AC＋CD＋DB)＝|CD|2＝1，∴cos〈CD，AB〉＝＝，∴异面直线a，b所成角是60°.答案：60°4.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC；(2)求|AC＋PC|的值．解：(1)证明：∵BD＝BC＋CD，∴BD·PC＝(BC＋CD)·PC＝BC·PC＋CD·PC＝|BC||PC|·cos60°＋|CD||PC|cos120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵AC＋PC＝AB＋BC＋PC，∴|AC＋PC|2＝|AB|2＋|BC|2＋|PC|2＋2AB·BC＋2AB·PC＋2BC·PC＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos60°＋2a2cos60°＝5a2，∴|AC＋PC|＝a.5.如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈DM，AO〉．解：设VA＝a，VB＝b，VC＝c，正四面体的棱长为1，(1)证明：因为VD＝(a＋b＋c)，AO＝(b＋c－5a)，BO＝(a＋c－5b)，CO＝(a＋b－5c)，所以AO·BO＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，所以AO⊥BO，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)DM＝DV＋VM＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，3所以|DM|＝＝.又|AO|＝＝，DM·AO＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，所以cos〈DM，AO〉＝＝.又〈DM，AO〉∈[0，π]，所以〈DM，AO〉＝.4
