第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课后篇巩固提升基础达标练1.化简(⃗AB−⃗CD)-(⃗AC−⃗BD)的结果是()A.0B.⃗ADC.⃗BCD.⃗AB答案A2.(多选题)下列说法错误的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案ABC3.空间任意四个点A,B,C,D,则⃗DA+⃗CD−⃗CB等于()A.⃗DBB.⃗ACC.⃗ABD.⃗BA解析⃗DA+⃗CD−⃗CB=(⃗CD+⃗DA)-⃗CB=⃗CA−⃗CB=⃗BA.答案D4.已知⃗MA,⃗MB是空间两个不共线的向量,⃗MC=3⃗MA-2⃗MB,那么必有()A.⃗MA,⃗MC共线B.⃗MB,⃗MC共线C.⃗MA,⃗MB,⃗MC共面D.⃗MA,⃗MB,⃗MC不共面解析由共面向量定理知,⃗MA,⃗MB,⃗MC共面.答案C5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是()A.⃗EB+⃗BF+⃗EH+⃗GH=0B.⃗EB+⃗FC+⃗EH+⃗¿=0C.⃗EF+⃗FG+⃗EH+⃗GH=0D.⃗EF−⃗FB+⃗CG+⃗GH=0解析⃗EB+⃗FC=⃗EB+⃗BF=⃗EF,⃗EH+⃗¿=⃗GH,易证四边形EFGH为平行四边形,故⃗EF+⃗GH=0,故选B.答案B6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1D1的中点,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则⃗CE=()A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.a+12b-c解析根据向量减法的三角形法则得到⃗CE=⃗AE−⃗AC=⃗AA1+⃗A1E-(⃗AB+⃗BC)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.答案A7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若⃗EF+λ⃗A1D=0(λ∈R),则λ=.解析在△C1A1D中,EF是其中位线,所以⃗EF∥⃗A1D,且⃗EF=12⃗A1D,因此当⃗EF+λ⃗A1D=0时,λ=-12.答案-128.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知⃗AB=e1+ke2,⃗BC=5e1+4e2,⃗DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是.解析因为⃗BC=5e1+4e2,⃗DC=-e1-2e2,所以⃗BD=⃗BC+⃗CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以⃗AB=λ⃗BD,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以{1=6λ,k=6λ,故k=1.答案19.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为√5的所有向量.(3)试写出与⃗AB相等的所有向量.(4)试写出⃗AA1的相反向量.解(1)模为1的向量有⃗A1A,⃗AA1,⃗B1B,⃗BB1,⃗C1C,⃗CC1,⃗D1D,⃗DD1,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为√5,因此模为√5的向量为⃗AD1,⃗D1A,⃗A1D,⃗DA1,⃗BC1,⃗C1B,⃗B1C,⃗CB1.(3)与向量⃗AB相等的向量(除它自身之外)为⃗A1B1,⃗DC及⃗D1C1.(4)向量⃗AA1的相反向量为⃗A1A,⃗B1B,⃗C1C,⃗D1D.能力提升练1.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且⃗AO+⃗OB=⃗DO+⃗OC,则四边形ABCD是()A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形解析由已知得⃗AB=⃗DC,即⃗AB,⃗DC是相等向量,因此⃗AB,⃗DC的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.答案B2.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是()A.⃗OA+⃗OD与⃗OB1+⃗OC1是一对相等向量B.⃗OB−⃗OC与⃗OA1−⃗OD1是一对相反向量C.⃗OA1−⃗OA与⃗OC−⃗OC1是一对相等向量D.⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD与⃗OA1+⃗OB1+⃗OC1+⃗OD1是一对相反向量解析选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.答案ABC3.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,用a,b,c表示向量⃗MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c解析如图所示,连接ON,AN,则⃗ON=12¿)=12(b+c),⃗AN=12¿)=12¿-2⃗OA+⃗OB)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以⃗MN=12¿)=-12a+12b+12c,故选C.答案C4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有⃗PM=⃗PB1+7⃗BA+6⃗AA1-4⃗A1D1,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析由于⃗PM=⃗PB1+7⃗BA+6⃗AA1-4⃗A1D1=⃗PB1+⃗BA+6⃗BA1-4⃗A1D1=⃗PB1+⃗B1A1+6⃗BA1-4⃗A1D1=⃗PA1+6(⃗PA1−⃗PB)-4(⃗PD1−⃗PA1)=11⃗PA1-6⃗PB-4⃗PD1,因此M,B,A1,D1四点共面.答案C5.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外...
