第1章不等关系与基本不等式学业分层测评5运用平均值不等式求最大（小）值北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若x，y是正数，则(x＋y)·的最小值为()A．6B．9C．12D．15【解析】(x＋y)·＝5＋＋≥9，故选B.【答案】B2．已知x，y为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为()A.B．C.D．【解析】∵x，y>0，∴xy＝(x·4y)≤·2＝，故选C.【答案】C3．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B.C.D．4【解析】∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴≤＝＝2，∴lgx·lgy≤4.【答案】D4．设x，y为正数，且x＋y＝1，则使＋≤a恒成立的a的最小值是()A.B．C．2D．2【解析】(＋)2＝1＋2≤1＋x＋y＝2，故＋≤，从而a必须不小于.【答案】B5．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是()A.πB．πC.πD．π【解析】l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h≤π＝π.当且仅当r＝h＝时等号成立．【答案】A二、填空题6．设x>0，则y＝2－x－的最大值是__________．【解析】∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－x－≤2－4＝－2，∴当且仅当x＝，即x＝2时，y取最大值为－2.【答案】－27．已知x，y大于0，且满足＋＝1，则xy的最大值为__________．1【解析】∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．【答案】38．已知x，y>0，x＋y＝1，则的最小值为________.【导学号：94910015】【解析】由x>0，y>0，x＋y＝1，得＝xy＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．【答案】4三、解答题9．已知x，y，a，b均为正数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.【解】∵x＋y>0，a>0，b>0且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2.当且仅当＝时取等号，此时(x＋y)min＝(＋)2＝18.即a＋b＋2＝18.又a＋b＝10，联立解得或10．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】(1)依题意y＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝40时等号成立．∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)．当v＝40千米/小时时，车流量最大，约为11.1千辆/小时．(2)由条件得>10，整理得v2－89v＋1600<0，即(v－25)(v－64)<0.解得250，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4【解析】依题意a＋b＝x＋y，xy＝cd，又x>0，y>0，2∴＝＝2＋＋≥4.当且仅当x＝y时，等号成立．∴的最小值为4.【答案】D2．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为()A．(－∞，－9]B．(－9,9]C．(－∞，9]D．9，＋∞)【解析】令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.又x∈，∴t∈(0,1)．不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，令y＝(1－t)＝17－≤17－2＝9，当＝16t，即t＝时取等号，因此原不等式恒成立，只需p≥9.【答案】D3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________.【导学号：94910016】【解析】由x>0，原不等式等价于0<≤＝x＋＋3恒成立，所以≤min＝5，即0<≤5，解得a≥.当且仅当x＝即x＝1时，取等号．【答案】a≥4．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图132所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.图132该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m，问：d为多少时，α－β最大？【解】由题设知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝，所以tan(α－β)＝＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．3因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.4
