课时分层作业(十八)函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)A[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]2．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D．6C[ f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()A．0B．－5C．－10D．－37D[因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37，故选D.]4．函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－1，1]C．(－1，2)D．(－1，2]D[由于f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f(－1)＝f(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2]，故选D.1]5．若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为()A．(－∞，3)B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(0，3)C[f(x)＝2x3－6x2＋3－a，f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.在(－2，0)上f′(x)＞0，f(x)单调递增；在(0，2)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，所以f(x)max＝3－a≤0，得a≥3.故选C.]二、填空题6．函数f(x)＝x－lnx在区间(0，e]上的最小值为________．1[f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.]7．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．－1[f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)，若x＝时，f(x)取最大值，则f(x)max＝＝，＝＜1，不符合题意；若f(x)max＝f(1)＝＝，则a＝－1，符合题意．]8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．(－∞，2ln2－2][函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0.(1)求实数a，m的值；(2)求f(x)在区间[1，2]上的最值．[解](1)f′(x)＝3x2－3a， 曲线f(x)＝x3－3ax＋2在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0，2∴解得a＝2，m＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x＋2，则f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x＝±，∴f(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，又f(1)＝1－6＋2＝－3，f(2)＝23－6×2＋2＝－2，f()＝()3－6×＋2＝2－4，∴f(x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－4.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2020对于∀x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2020对于∀x∈[－2，2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2020，解得a≥2025.11．(多选题)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值...
