第2章圆锥曲线2.3柱面与平面的截面2.4平面截圆锥面学业分层测评北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由已知α＝＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆.【答案】B2.一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60°角，截线上最长的弦长为4，则该圆柱底面的半径为()A.B.2C.3D.6【解析】圆柱底半径r＝2sin60°＝3.【答案】C3.已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是()A.B.C.D.2【解析】由题意，θ＝45°，σ＝60°，由θ<σ知，平面π与圆锥面的交线为双曲线，双曲线的离心率为e＝＝.【答案】C4.已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为()A.2B.2C.4D.4【解析】由2a＝＝4，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝2，故焦距为4.【答案】C5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为()A.B.C.D.【解析】∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角σ＝45°；又截面与轴线的夹角θ＝30°，即θ＜σ，∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.【答案】A二、填空题6.已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________.【导学号：96990049】【解析】根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线.1【答案】抛物线7.已知圆柱底面半径为b，平面α与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是，则点P到另一准线l2对应的焦点F1的距离是__________.【解析】由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，∴c＝＝b.∴e＝＝(或e＝cos30°＝).设P到F1的距离为d，则＝，∴d＝b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.8.已知圆柱面轴线上一点O到圆柱的同一条母线上两点A，B的距离分别为2和3，且∠AOB＝45°.则圆柱面内切球的半径是__________.【解析】如图所示为圆柱面的轴截面.依题意，OA＝2，OB＝3，∠AOB＝45°，∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos45°＝4＋18－2×2×3×＝10，∴AB＝.设内切球的半径为r，则S△AOB＝·AB·r＝r.又∵S△OAB＝OA·OBsin∠AOB＝×2×3sin45°＝3，∴r＝3，∴r＝，即圆柱面内切球半径为.三、解答题9.如图236，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.图236【解析】设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20.又∵PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.由离心率定义，∴＝.∴PQ＝.10.如图237，圆柱被平面α所截.已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交2于点G，H.图237(1)比较EF，GH的大小；(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.【解】(1)∵EG和FH都是投影线，∴EG∥FH又EG＝FH，∴四边形EFHG是平行四边形，∴EF＝GH.(2)如题图，过点D作DP⊥AC于点P，则在Rt△CDP中，有：sin∠DCP＝，又∠DCP＝θ，DP＝2r，∴CD＝.能力提升]1.如图238所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱的球，得到的截面图有可能是()图238A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④【解析】如图所示，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得的图形是图①；当平面与AB垂直不过AB中点时，截得的图形是两个同心圆，是图②；当平面经过轴AB时，截得的图形是图③；当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④，故有可能的图形是①②③④.【答案】D2.在阳光照射下，地面上篮球的影子是个椭圆，如图239所示，则篮球与地面的接触点是椭圆的一个__________.3图239【解析】如图，作篮球与影子的纵截面图，M为球心，D为篮球与地面的接触点，易知MD⊥A1A2，MD＝b.因为光线EA1∥FA2，且EA1，FA2，A1A2均与圆M相切，所以∠MA1D＋∠MA2D＝90°，所以∠A1MA2＝90°，于是MO＝A1O＝A2O＝a.于是OD＝＝＝c，所以D是椭圆的一个焦点.【答案】焦点3.如图2310，已知两焦点的距离F1F2＝2c，两端点G1G2＝2a.求证：l1与l2之间的距离为.图2310【证明】设椭圆上任意一点P，过P作PQ1⊥l1于Q1，过P作PQ2⊥l2于Q2.∵e＝＝＝，∴PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.由椭圆定义PF1＋PF2＝2a，∴PQ1＋PQ2＝2a.∴PQ1＋PQ2＝，即l1与l2之间的距离为.4
