2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.1椭圆的简单性质课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D．不能确定解析：由题意知正三角形的边长为a，c为正三角形的高，故e＝＝.答案：B2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．以上都不对解析：由题意知：，∴解得a＝5，b＝4.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.答案：C3．(2012·诸暨高二检测)已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±，0)B．(0，±)C．(±，0)D．(0，±)解析：直线x＋2y＝2与坐标轴的交点为(2,0)，(0,1)，即为椭圆的两个顶点，又焦点在x轴上，∴a＝2，b＝1，∴c＝＝，∴焦点坐标为(±，0)．故选A.答案：A4．已知椭圆＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：由题意：焦距为4，则有m－2－(10－m)＝2，解得m＝8.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径为4，即a＝2.而＝，得c＝1，所以b＝，则椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝16．若椭圆＋＝1(k＞－8)的离心率为e＝，则k的值等于________．解析：若焦点在x轴上，则＝⇒k＝4.若焦点在y轴上，则＝⇒k＝－.答案：4或－三、解答题(每小题10分，共20分)7．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c＞0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的标准方程．解析：依题意得：，∴解得a＝2，c＝，∴b2＝a2－c2＝1.所以椭圆的方程为：＋x2＝1.8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF1⊥PF2，试求该椭圆的方程．解析：∵椭圆经过点P(3,4)，∴＋＝1.①又a2＝b2＋c2，②设F1(－c,0)，F2(c,0)，则kPF1＝，kPF2＝.∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1.∴·＝－1，即9－c2＝－16.∴c2＝25.∴c＝5.由①②得∴.故所求椭圆的方程为＋＝1.1☆☆☆9．(10分)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．则F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.∵PF2∥AB，且kPF2＝＝，又kAB＝－，∴由kPF2＝kAB，得－＝－.∴b＝2c，a＝c，∴e＝.2
