函数的单调性与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选B.由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0
0恒成立,即f′(x)>0在x∈(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上是增函数.3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx【解析】选C.A中,y′=-6x,当-10,当00对x∈(-1,1)恒成立,所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.4.设f(x),g(x)在(a,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当ag(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)【解析】选C.令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x),因为f′(x)>g′(x),所以φ′(x)>0,即函数φ(x)为(a,b)上的增函数.又ag(x)+f(a).5.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,2即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数g(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数g(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-≤a≤.6.(2017·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是()A.a>B.00)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),所以0<<3,解得a>.7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若20可得x>2时f′(x)>0,3所以f(x)在(2,+∞)是增函数.因为24,2<4-log2a<3,即2a>3>4-log2a>2,所以f(4-log2a)2f(1)【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0,所以当x>1时,f′(x)>0;当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).8.已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中不成立的是()A.ffC.f(0)0,且f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′,所以可构造函数g(x)=,则g′(x)=>0,4所以g(x)为偶函数且在上单调递增,所以有g=g==2f,g=g==f,g==f.由函数单调性可知gg(0)=f(0),所以C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则a的取值范围是.【解析】f′(x)=3ax2+6x-1.(1)当f′(x)<0(x∈R)时,f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0⇔且Δ=36+12a<0a<-3.⇔所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)在R上是减函数;(2)当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3+,由函数y=x3在R上的单调性,可知当a=-3时,f(x)在R上是减函数;(3)当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)...
