习题课不等式的综合应用课后篇巩固探究1.已知函数f(x)={-x+1,x<0,x-1,x≥0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是()A.{x|-1≤x≤√2-1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤√2-1}D.{x|-√2-1≤x≤√2-1}答案:C2.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x成立,则()A.-1
0.因为不等式对任意实数x成立,所以Δ<0,即1-4(a-a2+1)<0,4a2-4a-3<0,解得-120),由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由√aman=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故1m+4n=16(m+n)(1m+4n)=56+16(4mn+nm)≥56+46=32,当且仅当n=2m,即m=2,n=4时,等号成立.答案:A5.设变量x,y满足约束条件{x+y≤a,x+y≥8,x≥6且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是()A.[8,10]B.[8,9]C.[6,9]D.[6,10]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值2a-6,由2a-6≤14,得a≤10,所以8≤a≤10,故选A.答案:A6.导学号33194078已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析:因为x,y∈(0,+∞),a>0,所以(x+y)(1x+ay)=1+a+yx+axy≥1+a+2√a(当且仅当y=√ax时,等号成立),因此,若使不等式(x+y)·(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则需1+a+2√a=(√a+1)2≥9,解得a≥4,即正实数a的最小值为4.故选B.答案:B7.设实数x,y满足{x-y-2≤0,x+2y-4≥0,2y-3≤0,则yx的最大值为.2解析:yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,作出不等式组表示的平面区域(图略),由图可知在点(1,32)处yx取到最大值,最大值为321=32.答案:328.不等式x2-9x-2>0的解集是.解析:不等式x2-9x-2>0可化为(x-2)(x-3)(x+3)>0,由穿针引线法(如图)得,所求不等式的解集为(-3,2)∪(3,+∞).答案:(-3,2)∪(3,+∞)9.已知t是正实数,若不等式组{x+y≤t,x-y≤0,x≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆,则t的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,当t是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意,它有一个半径为1的内切圆,不妨设斜边|OB|=t,则两直角边长|AB|=|OA|=√22t,所以√22t+√22t-t2=1,求得t=2√2-1=2√2+2,即tmin=2+2√2.答案:2+2√210.导学号33194079已知不等式x2-ax+1≥0.(1)若不等式对于一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为.3(2)若不等式对一切x∈[-2,2]恒成立,则a的取值范围为.(3)若不等式对一切a∈[-2,2]恒成立,则x的取值范围为.解析:(1)原不等式可化为a≤x2+1x,而x2+1x≥2xx=2,当且仅当x=1时等号成立,所以a的取值范围是(-∞,2].(2)因为x∈[-2,2],当x=0时,原式为02-a·0+1≥0恒成立,此时a∈R;当x≠0时,则当x∈(0,2]时,由(1)知a∈(-∞,2],所以当x∈[-2,0)时,可得a≥x2+1x,令f(x)=x2+1x=x+1x,由函数的单调性可知,f(x)max=f(-1)=-2,所以a∈[-2,+∞).综上可知,a的取值范围是[-2,2].(3)因为a∈[-2,2],所以可把原式看作关于a的函数,即g(a)=-xa+x2+1≥0.由题意可知,{g(-2)=x2+2x+1≥0,g(2)=x2-2x+1≥0,解得x∈R,所以x的取值范围是(-∞,+∞).答案:(1)(-∞,2](2)[-2,2](3)(-∞,+∞)11.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.解由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以{m-2=0,m+2≥3,所以{m=2,m≥1.所以m=2.(2)∁RB={x|xm+2}.因为A⊆∁RB,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3.12.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵玩具需5分钟,生产一个骑兵玩具需7分钟,生产一个伞兵玩具需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵玩具可获利润5元,生产一个骑兵玩具可获利润6元,生产一个伞兵玩具可获利润3元.(1)用每天生产的卫兵玩具个数x与骑兵玩具个数y表示每天的利润w(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?最大利润是多少?解(1)依题意每天生产的伞兵玩具个数为100-x-y,所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为{5x+7y+4(100-x-y)≤600,100-x-y≥0,x∈N,y∈N,整理得{x+3y≤200,x+y≤100,x∈N,y∈N.4目标函数为w=2x+3y+300.如图所示,作出可行域.初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,w有最大值.由{x+3y=200,x+y=100得{x=50,y=50,所以wmax=550(元).答:每天生产卫兵玩具50个,骑兵玩具50个,伞兵玩具0个时利润最大,为550元.5
