2．4.1抛物线及其标准方程1．抛物线的定义．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______的点的轨迹叫做抛物线．________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．想一想：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹还是抛物线吗？2．抛物线方程的几种形式．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)x＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝2py(p＞0)y＝－x2＝－2py(p＞0)y＝想一想：抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)有什么区别？基础梳理1．相等定点F定直线l想一想：解析：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．想一想：解析：y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样，y2＝2px(p>0)：焦点，对称轴为x轴；y＝ax2(a>0)，即x2＝y，焦点，对称轴为y轴．1．已知曲线C：y2＝2px上一点P的横坐标为4，P到焦点的距离为5，则曲线C的焦点到准线的距离为()A.B．1C．2D．42．抛物线x2＝y上的点M到原点的距离为，则M到焦点的距离为()A.B.C.D.13．焦点坐标为(0，2)的抛物线的标准方程为________________________________________________________________________．自测自评1．C2．解析：易得M(，2)，所以所求距离为2＋＝.答案：B3．解析：因为焦点坐标为(0，2)，故标准方程可设为x2＝2py(p＞0)，其中＝2，所以p＝4.故标准方程为x2＝8y.答案：x2＝8y1．(2014·吉林高二检测)对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0，1)B．开口向上，焦点为(0，)C．开口向右，焦点为(1，0)D．开口向右，焦点为(，0)1．解析：抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1)，因此选A.答案：A2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是()A．a＋B．a－C．a＋pD．a－p2．解析：设M(x0，y0)，由点M到焦点的距离为a，可得点M到准线x＝－的距离也为a，即x0＋＝a，所以x0＝a－.答案：B3．(2014·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1B．1或4C．1或5D．4或53．解析：因为点M到对称轴的距离为4，所以点M的坐标可设为(x，4)(或(x，－4))，又因为M到准线的距离为5，所以解得或答案：B4．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是__________．解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(2，0)与到定直线x＝－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴．答案：y2＝8x(x＞0)或y＝0(x＜0)5．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.5．解析：抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线方程为x－y＝0，根据点到直线的距离公式可得d＝，故选B.答案：B6．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()26．解析：a2x2＋b2y2＝1，可化为＋＝1，因为a>b>0，所以<，其表示焦点在y轴上的椭圆；而ax＋by2＝0可化为y2＝－x，其表示开口向左的抛物线，故应选D.答案：D7．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程为____________________．7．解析：抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)．所以所求圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(x－1)2＋y2＝18．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水面宽是________m.8．解析：如右图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将yB＝－3代入得xB＝，∴水面宽是2xB＝2.答案：29．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．9．解析：依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.3设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水...
