2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.（3a+b+c）-(2a+b-c)等于(A)(A)a-b+2c(B)5a-b+2c(C)a+b+2c(D)5a+b解析:(3a+b+c)-(2a+b-c)=(3a-2a)+(b-b)+(c+c)=a-b+2c.故选A.2.下列说法正确的是(D)(A)平行于同一向量的两个向量是共线向量(B)单位向量都相等(C)a∥b⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb(D)与非零向量a相等的向量有无数个解析:若两个向量都与零向量平行,它们可能不共线,所以选项A不正确;单位向量只是长度相等,方向不确定,故选项B不正确;“a∥b⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb”需在b≠0的前提下才成立,故选项C不正确;平移非零向量a,所得向量都与a相等,故与非零向量a相等的向量有无数个.故选D.3.给出下面四个结论:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③若ma=mb(m∈R),有a=b;④若ma=na(m,n∈R,a≠0),有m=n.其中正确的结论个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①②显然正确.③错误.若m=0,则a,b可以是任意向量,④正确.因为由ma=na得(m-n)a=0,又a≠0,所以m-n=0,即m=n.故选C.14.已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(B)(A)A,B,C三点共线(B)A,B,D三点共线(C)A,C,D三点共线(D)B,C,D三点共线解析:因为+=2a+6b=2(a+3b)=2,即=2.所以A,B,D三点共线.故选B.5.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(A)(A)=-+(B)=-(C)=+(D)=-解析:=+=+=+(-)=-+,故选A.6.若点O为平行四边形ABCD的中心,=2e1,=3e2,则e2-e1等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:=-=-=3e2-2e1,==e2-e1.7.点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在(B)(A)△ABC的内部(B)AC边所在直线上(C)AB边所在直线上(D)BC边所在直线上解析:因为=λ+,所以λ++=0,即=λ,所以P,A,C三点共线,即点P一定在AC边所在直线上,故选B.8.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.2若=a,=b,则等于(B)(A)a+b(B)a+b(C)a+b(D)a+b解析:因为E是OD的中点,所以==b.又因为△ABE∽△FDE,所以==.所以=3,所以=.在△AOE中,=+=a+b.所以==a+b.选B.9.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.解析:由于a,b不平行,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=.答案:10.已知不共线向量a,b,=ta-b(t∈R),=a+b,若A,B,C三点共线,则实数t等于.解析:由题意可设=m,m∈R,因此ta-b=m(a+b)=ma+mb,所以t=m=-1.答案:-111.如图所示,D为△ABC中BC边的中点,设=a,=b,则=(用a,b表示).3解析:由题意,得=-=(a+b)-a=(b-a).答案:(b-a)12.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)解析:由=3,得4=3=3(a+b).又因为=a+b,所以=-=(a+b)-(a+b)=-a+b.答案:-a+b13.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);(2)［(3a+2b)-a-b］-［a+(b+a)］;(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).解:(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=(a+b)-(a+b)=a+b-a-b=0.(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.14.已知:在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,求证:四边形ABCD为梯形.证明:如图所示,4因为=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-b=2(-4a-b),所以=2.所以与共线,且||=2||.又因为这两个向量所在的直线不重合,所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.15.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),求x的取值范围.解:设=y,因为=+=+y=+y(-)=-y+(1+y).因为=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以y∈(0,),因为=x+(1-x),所以x=-y,所以x∈(-,0).16.设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题:5①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc;上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据平面向量基本定理知,①②正确,④错误,对于③,不妨设a=(2,2),μ=,b=(1,0),c=(x,y),则(2,2)=λ(1,0)+(x,y),所以所以y=4,与c是单位向量矛盾,③错误.故选B.17.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(B)(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:设=,...
