3.3.3函数的最大(小)值与导数【选题明细表】知识点、方法题号函数极值与最值的关系1函数的最值2,3,6,13由函数最值求参数(或范围)4,5,7,10函数最值的应用9,11综合应用8,12【基础巩固】1.下列说法正确的是(D)(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值解析:由极值与最值的区别知选D.2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(D)(A)有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.3.函数f(x)=3x-x3(-≤x≤3)的最大值为(B)(A)18(B)2(C)0(D)-18解析:f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,-10,10对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为(C)(A)(-∞,2](B)(-∞,1](C)(-∞,-1](D)(-∞,0]1解析:由已知得,a1),则f′(x)=lnx+2x-1,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是,最小值是.解析:因为y′==,令y′=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2-27.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析:f′(x)=2x+2a,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1.答案:(-∞,-1]8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f(x)定义域为R,因为f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.所以f(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【能力提升】9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)0,f′(x)=x+=;对于x∈[1,e],有f′(x)>0,所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,所以f(x)max=f(e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2...
