第六章不等式第第4课时不等式的综合应用1.(2013·徐州期中)设a、b∈R,a2+2b2=6,则的最大值是________.答案:1解析:过(3,0)点的直线与椭圆+=1相切时斜率最大,可求得切线的斜率为1即为所求.2.(2013·无锡期中)定义在R上的函数y=f(x)是增函数,且函数y=f(x-2)的图象关于(2,0)成中心对称,设s、t满足不等式f(s2-4s)≥-f(4t-t2),若-2≤s≤2时,则3t+s的范围是________.答案:[-8,16]解析:因为函数y=f(x-2)的图象关于(2,0)成中心对称,所以函数y=f(x)的图象关于(0,0)成中心对称,即函数y=f(x)为奇函数.又函数y=f(x)是增函数,所以不等式化为s2-4s≥-4t+t2,(s-t)(s+t-4)≥0,在横轴为s轴,纵轴为t轴的直角坐标系中作出可行域,可求得直线z=3t+s分别过点(-2,-2)、(-2,6)时取得最小值-8和最大值16.3.(2013·南京模拟)已知关于x的不等式(2ax-1)lnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的值为________.答案:解析:当x>1时,lnx>0,所以2ax-1≥0,即2a≥,所以a≥;当00,对于任意a、b、c∈(M,+∞),若a、b、c是直角三角形的三条边长,且f(a)、f(b)、f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为________.答案:解析:设斜边为c,则a2+b2=c2,lna+lnb>lnc,即ab>c,所以a2b2>c2=a2+b2,即1>+.又+<+=,故1≥,即M≥.5.(2013·盐城模拟)若实数a、b、c、d满足==1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为________.答案:(1-ln2)2解析:由题意得,(a,b)、(c,d)分别为函数y=x2-2lnx和y=3x-4图象上任意一点,当函数y=x2-2lnx图象上点(a,b)处的切线与直线y=3x-4平行时(a-c)2+(b-d)2最小,由2x-=3得x=2,所以点(2,4-2ln2)到直线y=3x-4的距离的平方(1-ln2)2即为所求的最小值.6.(2013·台州调研)若实数a、b满足ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值为________.答案:27解析: ab-4a-b+1=0,∴b=,ab=4a+b-1.∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+·2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15. a>1,∴a-1>0.∴原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时等号成立.∴最小值为27.7.若对任意x∈R,不等式3x2-2ax≥|x|-恒成立,则实数a的取值范围是________.答案:-1≤a≤1解析:当x=0时,a∈R;当x>0时,2a≤3x+-1,因为3x+-1≥2-1=2,所以a≤1;当x<0时,2a≥3x++1,因为3x++1=-+1≤-3+1=-2,所以a≥-1.综上所述,-1≤a≤1.8.(2013·南通模拟)设实数x1、x2、x3、x4、x5均不小于1,且x1x2x3x4x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的最小值是________.答案:9解析:设M=max,则M≥x1x2,M≥x2x3,M≥x3x4,M≥x4x5,相乘得M4≥x1xxxx5=.因为M≥x1,M≥x5,所以x1x5≤M2,所以M4≥x1xxxx5=≥,即M6≥7292,亦即M≥9,当x1=x3=x5=9,x2=x4=1时,M=9.9.函数f(x)=ax2-2(a-3)x+a-2中,a为负整数,则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为________.答案:-14解析:由ax2-2(a-3)x+a-2=0得a(x-1)2=2-6x,显然x=1不成立,所以x≠1,所以a=.因为a为负整数,所以x>且(x-1)2<6x-2,解得4-