第六章不等式第第4课时不等式的综合应用1.(2013·徐州期中)设a、b∈R，a2＋2b2＝6，则的最大值是________．答案：1解析：过(3，0)点的直线与椭圆＋＝1相切时斜率最大，可求得切线的斜率为1即为所求．2.(2013·无锡期中)定义在R上的函数y＝f(x)是增函数，且函数y＝f(x－2)的图象关于(2，0)成中心对称，设s、t满足不等式f(s2－4s)≥－f(4t－t2)，若－2≤s≤2时，则3t＋s的范围是________．答案：[－8，16]解析：因为函数y＝f(x－2)的图象关于(2，0)成中心对称，所以函数y＝f(x)的图象关于(0，0)成中心对称，即函数y＝f(x)为奇函数．又函数y＝f(x)是增函数，所以不等式化为s2－4s≥－4t＋t2，(s－t)(s＋t－4)≥0，在横轴为s轴，纵轴为t轴的直角坐标系中作出可行域，可求得直线z＝3t＋s分别过点(－2，－2)、(－2，6)时取得最小值－8和最大值16.3.(2013·南京模拟)已知关于x的不等式(2ax－1)lnx≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．答案：解析：当x>1时，lnx>0，所以2ax－1≥0，即2a≥，所以a≥；当00，对于任意a、b、c∈(M，＋∞)，若a、b、c是直角三角形的三条边长，且f(a)、f(b)、f(c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为________．答案：解析：设斜边为c，则a2＋b2＝c2，lna＋lnb>lnc，即ab>c，所以a2b2>c2＝a2＋b2，即1>＋.又＋<＋＝，故1≥，即M≥.5.(2013·盐城模拟)若实数a、b、c、d满足＝＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．答案：(1－ln2)2解析：由题意得，(a，b)、(c，d)分别为函数y＝x2－2lnx和y＝3x－4图象上任意一点，当函数y＝x2－2lnx图象上点(a，b)处的切线与直线y＝3x－4平行时(a－c)2＋(b－d)2最小，由2x－＝3得x＝2，所以点(2，4－2ln2)到直线y＝3x－4的距离的平方(1－ln2)2即为所求的最小值．6.(2013·台州调研)若实数a、b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．答案：27解析： ab－4a－b＋1＝0，∴b＝，ab＝4a＋b－1.∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋·2＋1＝6a＋＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15. a＞1，∴a－1＞0.∴原式＝6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.当且仅当(a－1)2＝1，即a＝2时等号成立．∴最小值为27.7.若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：－1≤a≤1解析：当x＝0时，a∈R；当x>0时，2a≤3x＋－1，因为3x＋－1≥2－1＝2，所以a≤1；当x<0时，2a≥3x＋＋1，因为3x＋＋1＝－＋1≤－3＋1＝－2，所以a≥－1.综上所述，－1≤a≤1.8.(2013·南通模拟)设实数x1、x2、x3、x4、x5均不小于1，且x1x2x3x4x5＝729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是________．答案：9解析：设M＝max，则M≥x1x2，M≥x2x3，M≥x3x4，M≥x4x5，相乘得M4≥x1xxxx5＝.因为M≥x1，M≥x5，所以x1x5≤M2，所以M4≥x1xxxx5＝≥，即M6≥7292，亦即M≥9，当x1＝x3＝x5＝9，x2＝x4＝1时，M＝9.9.函数f(x)＝ax2－2(a－3)x＋a－2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为________．答案：－14解析：由ax2－2(a－3)x＋a－2＝0得a(x－1)2＝2－6x，显然x＝1不成立，所以x≠1，所以a＝.因为a为负整数，所以x>且(x－1)2<6x－2，解得4－
