阶段质量评估(一)不等关系与基本不等式A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当0＜ab＜1时，若b＞0，则a＜；若b＜0，则b＞.反之，a＜⇒a－＜0⇒b(ab－1)＜0.当b＞0时，ab＜1；当b＜0时，ab＞1.同理，当b＞时，若a＞0，则ab＞1；若a＜0，则ab＜1.所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．答案：A2．不等式|5x－x2|＜6的解集为()A．{x|x＜2或x＞3}B．{x|－1＜x＜6}C．{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}D．{x|2＜x＜3}解析： |5x－x2|＜6⇒－6＜5x－x2＜6⇔∴－1＜x＜2或3＜x＜6.答案：C3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.答案：C4．若关于x的不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a＝()A．8B．2C．－4D．－8解析：|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.当a＞0时，－＜x＜. 解集是(－1,2)，∴解得两值矛盾．当a＜0时，＜x＜－.由得a＝－4.答案：C5．若0＜x＜，则x2(1－2x)有()A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值解析：x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤3＝，当且仅当x＝时取等号．答案：B6．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋41解析：由题意，得ab＞0且3a＋4b＞0.所以a＞0，b＞0.又log4(3a＋4b)＝log2，所以3a＋4b＝ab.所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝3＋2时等号成立．答案：D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)7．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件是________.解析：对于①，a，b均可小于1；对于②，a，b均可等于1；对于④⑤，a，b均可为负数；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a，b中至少有一个实数大于1”成立．答案：③8．函数y＝4sin2x·cosx的最大值与最小值的差是________.解析： y2＝16sin2xsin2xcos2x＝8(sin2xsin2x·2cos2x)≤83＝8×＝，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±时取等号，∴y2≤.∴ymax＝，ymin＝－.∴ymax－ymin＝.答案：9．设常数a＞0，若关于x的不等式9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则实数a的取值范围为________.解析：由题意，可知当x＞0时，f(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1，即a≥，当且仅当9x＝，即x＝时等号成立．答案：三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)已知ab≠0.求证：lg≥.证明：因为ab≠0，所以|a|＞0，|b|＞0.由平均值不等式，得≥＞0.因为函数y＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数，所以lg≥lg＝，当且仅当|a|＝|b|时等号成立．故lg≥.11．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.求证：＋＞.证明：假设＋≤，则1－＋1－≤1－，即1＋≤＋.2 (1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)，即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)(a＋b＋2)，∴2ab＋abc＋a＋b≤c.① a＋b＞c，a>0，b>0，c＞0，∴a＋b＋2ab＋abc＞c，与①矛盾．∴假设不成立．∴＋＞成立．12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求实数a的值；(2)若关于x的不等式≤k恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.又关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a＞0时，－≤x≤，则a＝2.(2)法一记h(x)＝f(x)－2f，则h(x)＝所以|h(x)|≤1.所以k≥1.故实数k的取值范围是[1，＋∞)．法二＝||2x＋1|－2|x＋1||＝2≤1.由关于x的不等式≤k恒成立，可知k≥1.所以实数k的取值范围是[1，＋∞)．B卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是...
