2.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用1.设抛物线y2=2x与过其焦点F的直线交于A,B两点,则·的值是()A.B.-C.3D.-3【解析】选B.特例法,F,取A,B的横坐标为,不妨令A,B,所以·=-1=-.2.若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点()A.(0,2)B.(0,-3)C.(0,3)D.(0,6)【解析】选C.直线y+3=0为抛物线的准线,由抛物线定义知圆心到直线y=-3的距离与到点(0,3)的距离相等,因此此圆恒过定点(0,3).3.设A,B是抛物线y=-x2上的两个动点,且|AB|=6,则AB的中点M到x轴的距离的最小值为.【解析】当线段AB过抛物线的焦点时,AB的中点M到x轴的距离最小.因为|AB|=6,结合抛物线的定义知,A,B两点到准线的距离之和为6,所以中点M到准线的距离为3,另抛物线y=-x2化为x2=-4y,其准线方程为y=1,则AB的中点M到x轴的距离的最小值为2.答案:24.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x2-8x+4=0,所以x1+x2=8,y1+y2=x1+x2-4=4,所以线段AB的中点坐标为(4,2).答案:(4,2)15.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M.因为|AF|=3,所以y0+=3,因为|AM|=,所以+=17,所以=8,代入方程=2py0得,8=2p,解得p=2或p=4.所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.2
