2.3.2离散型随机变量的方差[A基础达标]1．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析：选D.随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是()A．E(X1)＝12，D(X1)＝1B．E(X1)＝7，D(X1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2解析：选D.E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为()A．E(X)＝0，D(X)＝1B．E(X)＝，D(X)＝C．E(X)＝0，D(X)＝D．E(X)＝，D(X)＝1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为X－11P所以E(X)＝(－1)×＋1×＝0，D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.4．已知X的分布列如下表所示：X－101P则下列式子：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.由分布列知P(X＝0)＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－＋＝－，D(X)＝×＋×＋×＝，故只有①③正确．15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k·()n－k，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()A．8B．12C.D．16解析：选A.由题意可知ξ～B(n，)，所以n＝E(ξ)＝24.所以n＝36.所以D(ξ)＝n××(1－)＝×36＝8.6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于________．解析：因为ξ～B(10，0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.答案：0.1967．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.答案：8．随机变量ξ的分布列如下，其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值为________．ξ123Pabc解析：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又因为a＋b＋c＝1，所以b＝.又因为E(ξ)＝a＋2b＋3c＝，所以a＝，b＝，c＝，所以ξ的分布列为ξ123P所以D(ξ)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.答案：9．已知η的分布列为η010205060P(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．解：(1)E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，＝8.(2)因为Y＝2η－E(η)，所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.10．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列；2(2)求ξ的均值与方差；解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为ξ012P(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝×＋×＋×＝＝.[B能力提升]11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依题意0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1，因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合第一问中ξ，η的分布列可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又D(ξ)
