高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（第1课时）等比数列的概念及通项公式巩固提升（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第1课时等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A基础达标]1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为()A．108B.54C．36D．18解析：选B.因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.2．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为()A．±4B.4C．±D．解析：选A.由题意得(±a6)2＝a4a8，因为a1＝，q＝2，所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B.b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析：选B.因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.4．(2019·丰台高二检测)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()A.B.4C．2D．解析：选C.因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以a＝a1a7，设{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2.5．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则{an}的通项公式an＝()A．22n－1B.2nC．22n＋1D．22n－3解析：选A.由a－3an＋1an－4a＝0，得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.故选A.6．下面四个数列：①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④在数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*.其中一定是等比数列的有________．解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列．②不一定是等比数列．当{an}只有3项时，{an}是等比数列；当{an}的项数超过3时，不一定符合．③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，1是等比数列．④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q(q≠0)，那么{an}是等比数列．答案：④7．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.因为a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，所以所以所以a2＝2，b2＝2.所以＝＝1.答案：18．等比数列{an}中，若a2a5＝2a3，a4与a6的等差中项为，则a1＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2a5＝2a3，所以aq5＝2a1q2，化简得a1q3＝2＝a4.因为a4与a6的等差中项为，所以a4＋a6＝2×，所以a4(1＋q2)＝.所以q2＝，解得q＝±.则a1×＝2，解得a1＝±16.答案：±169．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若an＝，求n.解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，所以q2＝＝.所以q＝±.当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×＝28－n；当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×.所以an＝28－n或an＝32×.(2)当an＝时，即28－n＝或32×＝，解得n＝9.10．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．解：设数列{an}的公比为q.因为a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，所以，由①，得a1＝q，由②，得q＝2或q＝，又数列{an}为递增数列，所以a1＝q＝2，所以an＝2n.[B能力提升]11．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝()A．2n－1B.2n－1－12C．2n－1D．2(n－1)解析：选A.等式两边同时加1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1.12．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，＝a11，则k＝()A．12B.15C．18D．21解析：选D.＝a1q＝a1q＝a1q10，因为a1>0，q≠1，所以＝10，所以k＝21，故选D.13．已知数列{an}是等差数列，且a2＝3，a4＋3a5＝56，若log2bn＝an.(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：由log2bn＝an，得bn＝2an.因为数列{an}是等差数列，不妨设公差为d，则＝＝2an－an－1＝2d，2d是与n无关的常数，所以数列{bn}...