2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数4导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f(x)＝xex则f′(2)等于()A．3e2B．2e2C．e2D．2ln2解析：f′(x)＝(x)′ex＋x(ex)′＝ex＋xex，∴f′(2)＝e2＋2e2＝3e2，故选A.答案：A2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.B．C.D．解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.答案：D3．若f(x)＝－2exsinx，则f′(x)等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)解析：y′＝－2(exsinx)′＝－2[(ex)′sinx＋ex(sinx)′]＝－2[exsinx＋excosx]＝－2ex(sinx＋cosx)．答案：D4．已知f(x)＝x2＋2x·2f′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－2C．－4D．－6解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，故得f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f(x)＝x－sincos的导数为g(x)，则函数g(x)的最小值为________．解析：由于f′(x)＝(x－sincos)′＝′＝x′－′＝1－cosx，所以g(x)＝1－cosx，故函数g(x)的最小值等于.答案：6．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3.∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋1三、解答题(每小题10分，共20分)17．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝xsinx－.解析：(1)y′＝＝；(2)y′＝＝；(3)y′＝(xsinx)′－()′，＝sinx＋xcosx－＝sinx＋xcosx－.8．设定函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式．解析：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以(*)，当a＝3时，(*)式为，解得b＝－3，c＝12，又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，故f(x)＝x3－3x2＋12x.☆☆☆9．(10分)(1)设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，求f′(0)；(2)利用导数求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1，n∈N＋)．解析：(1)令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝x·g(x)，∴f′(x)＝x′·g(x)＋x·g′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，∴f′(0)＝g(0)＝1×2×3×4×…×n.(2)∵x＋x2＋x3＋…＋xn＝(x≠1且x≠0)．对上式两边求导，得：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝′＝，∴Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝.2
