高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2.3.1双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支【解析】本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM|－|PN|＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】C2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F2(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D．－＝1【解析】易知点P的坐标为(，4)，把点P的坐标代入选项中的方程只有B适合．【答案】B3．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．1或5B．6C．7D．9【解析】由题意a＝2，∴||PF1|－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7.【答案】C4．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()A.－y2＝1B．－y2＝1C.－＝1D．x2－＝1【解析】 c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由解得∴双曲线方程为－y2＝1.【答案】A5．F1，F2是椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于()A.B.C.D.【解析】不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF1|－|PF2|＝2，①由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2.②由①②可得，|PF1|＝＋，|PF2|＝－， |F1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.【答案】B二、填空题6．双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k＝________.【解析】方程可化为x2－＝1，∴＝2，解得k＝－.1【答案】－7．(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．【解析】由题意，设双曲线的方程为x2－＝1(b＞0)，又 1＋b2＝()2，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.【答案】x2－y2＝18．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．【解析】设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.【答案】9三、解答题9．若双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．【解】 |F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.又 |PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.故所求的双曲线方程为－＝1.10．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解】设动圆M的半径为r，由于动圆与圆C1相外切，所以|MC1|＝r＋，又动圆与圆C2相内切，所以有|MC2|＝r－，于是|MC1|－|MC2|＝(r＋)－(r－)＝2，且2<|C1C2|，因此动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支．设其方程为－＝1，则有2a＝2，即a＝，又c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－2＝14，于是动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≥)．[能力提升]1．已知F1、F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.＋4B．－4C.－2D．＋2【解析】如图所示，连接F1P交双曲线右支于点A0. |AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．2当A落在A0处时，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值为，∴|AP|＋|AF2|的最小值为－2.【答案】C2．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为()A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C.D．【解析】由a2＋1＝4，得a＝，则双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)，则－y＝1，即y＝－1.OP·FP＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1＝－， x0≥，故OP·FP的取值范围是[3＋2，＋∞)，故选B.【答案】B3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是________.【解析】 c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线的方程为－＝1(a...