第2课时类比推理课后训练案巩固提升1.给出下列三个类比结论:①类比ax·ay=ax+y,则有ax÷ay=ax-y;②类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(α+β)=sinα+sinβ;③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:根据指数幂的运算性质知①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知③正确,因此正确结论有2个.答案:C2.在等差数列{an}中,有结论,类比该结论,在等比数列{bn}中,可有结论()A.B.C.D.解析:由于b1b8=b2b7=b3b6=b4b5,所以,故选D.答案:D3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体P-ABC的体积为V,则r=()A.B.C.D.解析:将△ABC的三条边长a,b,c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数,类比到三棱锥体积公式中系数,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=S1r+S2r+S3r+S4r,故r=.答案:C4.在平面直角坐标系内,方程=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为()A.=1B.=1C.=1D.ax+by+cz=11解析:从方程=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是=1.答案:A5.若a0≠0,则函数f(x)=a0x+a1有一个零点x1,且x1=-;函数f(x)=a0x2+a1x+a2有两个零点x1,x2,且x1+x2=-;由此类推,函数f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=()A.-B.-C.-D.-解析:由一次函数和二次函数的结论类比可得.答案:A6.椭圆的标准方程为=1(a>b>0),圆的标准方程为x2+y2=r2(r>0),即=1,类比圆的面积S=πr2,推理可得椭圆的面积S=.解析:根据类比原理:圆的标准方程=1对应椭圆的标准方程为=1,所以圆的面积S=πr2=π·r·r类比椭圆的面积S=π·a·b=πab.答案:πab7.圆的面积S=πr2,周长C=2πr,两者满足C=S'(r),类比此关系写出球的公式的一个结论是.解析:圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得,球的体积V=πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R).答案:球的体积V=πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R)8.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为=1,由函数f(x)=可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2的解集是.解析:将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<-1.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)9.导学号40294009若数列{an}满足a1=1,an+an+1=,设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an(n∈N*),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn-4nan.解:由题意,Sn=a1+a2×4+a3×42+…+an×,①两边同乘以4,得4Sn=a1×4+a2×42+…+an-1×+an×4n,②由①+②,得5Sn=a1+(a1+a2)×4+(a2+a3)×42+…+(an-1+an)×+an×4n.又a1=1,an+an+1=,2所以a1+a2=,a2+a3=,所以5Sn=+an×4n.故5Sn-4nan=n.3
