高考数学异构异模复习 第十六章 几何证明选讲 16.2 圆的初步撬题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

2018高考数学异构异模复习考案第十六章几何证明选讲16.2圆的初步撬题理1．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为()A.B．3C.D.答案A解析由题意可得CM·MD＝AM·MB，则2×4＝2AM2，AM＝2.因为M、N是弦AB的三等分点，所以AM＝NB，AN＝MB，又CN·NE＝AN·NB，即3NE＝4×2，解得NE＝.2．如图所示，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.答案8解析由题意得OP＝BC＝，OA＝2，于是PA＝CP＝＝.因为∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故＝，即PD＝×＝，所以OD＝＋＝8.3.如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.答案2解析由切割线定理得PA2＝PC·PD，得PD＝＝＝12，∴CD＝PD－PC＝12－3＝9，即CE＋ED＝9，∵CE∶ED＝2∶1，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，即9EB＝6×3，得EB＝2.4．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.答案3解析∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴∠C＋∠BEF＝180°，∴∠C＝∠AEF，∴△AEF∽△ACB，∴＝＝，∴EF＝3.5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．解(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°.6．如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．解(1)证明：因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．9.如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB，由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.10．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA＝∠EGA.∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由AF⊥EP，得∠PFA＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.∵AB是直径，∴∠BDA＝∠ACB＝90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD.∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB＝∠CBA.又∠DCB＝∠DAB.∴∠DCB＝∠CBA，∴DC∥AB.∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角．∴ED为直径，由(1)得ED＝AB.