高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

1.2相关系数自主整理判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：（1）_______________________________________________________________.（2）_______________________________________________________________.高手笔记1.假设两个随机变量的数据分别为（x1，y1），（x2，y2)，…，（xn，yn），则变量间线性相关系数r的计算公式为r=2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高.（2）|r|值越接近0,Q越大,变量之间的线性相关程度越低.(3)当r＞0时,lxy＞0,b=＞0,两个变量正相关.当r＜0时,lxy＜0,b=＜0,两个变量负相关.当r=0时,两个变量线性不相关.名师解惑如何用变量间线性系数r来恒量两变量间的线性相关程度的大小?剖析：误差Q(a，b）=［yi-(a+bxi)］2=lyy+n［-(a+b)］2+lxx(b-)2-.当b=,a=-b时，Q（a，b）最小=lyy-=lyy（1-）=lyy·（1-r2）.∵Q(a,b)≥0，∴1-r2≥0，即r∈［-1，1］.（1）|r|值越大，1-r2越接近于0，误差Q（a，b）越小，两变量之间的线性相关程度越高.（2）|r|值越接近于0，1-r2越大，误差Q（a，b）越大，两变量之间的线性相关程度越低.（3）当r=0时，两变量线性不相关.讲练互动【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x（克/升）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.甲醛浓度(克/升)18202224262830缩醛化度(克分子%)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求相关系数r.解：列表如下1ixiyixi2xiyi11826.86324483.4822028.3540056732228.75484632.542428.87576692.8852629.75676773.562830.0078484073030.36900910.80∑168202.9441444900.16==24,=,r===0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱.变式训练1.以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据.房屋大小/m211511080135105销售价格/万元24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图;(2)用最小二乘估计求线性回归方程；(3)求相关系数r,并作出评价.解:(1)略.(2)ixiyixi2yi2xiyi111524.813225615.042852211021.612100466.56237638018.46400338.561472413529.218225852.643942510522110254842310∑545116609752756.812952==109，==23.2，2b==0.196，a=-b=23.2-0.196×109=1.836.∴回归方程为y=1.836+0.196x，（3）r==0.96，拟合程度较高.【例题2】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示.母亲身高x/cm159160160163159154159158159157女儿身高y/cm158159160161161155162157162156（1）试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161cm时，女儿的身高为多少？（2）求相关系数r.解：（1）ixiyixi2yi2xiyi11591582528124964251222160159256002528125440316016025600256002560041631612656925921262435159161252812592125599615415523716240252387071591622528126244257588158157249642464924806915916225281262442575810157156246492433624492∑15881591252222253185252688==158.8，=159.1，b=≈0.78，a=-b=159.1-0.78×158.8=35.3∴回归直线方程为y=35+0.78x.当x=161时,y=160.58cm,即女儿身高为160.58cm.（2）r==≈0.715.绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x与y的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际价值了，它也就不能反映变量x与y之间的变化规律.只有在x与y之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可以用于预测取值的情况.变式训练2.设变量x,y存在相关关系,今测得下列10组数据.x23456810121416y152025303545608082105（1）写出y关于x的线性回归方程；（2）预测x=25时y的取值；(3)求线性相关系数r.解：i12345678910∑xi2345681012141680yi152025303545608082105497xi24916253664100144196256850yi2225400625900122520253600640067241102533149xiyi3060100150210360600960114816805298=8，=49.7，b=≈6.3，a=-b=49.7-6.3×8=-0.7，∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x.当x=25时,y=156.8，4r===0.9925.x与y之间有很强的线性相关性.5