【成才之路】2015-2016学年高中数学3.4第2课时基本不等式的应用-证明与最值问题练习新人A教版必修5一、选择题1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．2[答案]D[解析]a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D．2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B．3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．>B．＋≤1C．≥2D．≤[答案]D[解析] a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D．4．(2015·云南省统考)已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于()A．B．C．D．[答案]A[解析]根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，∴c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4C．2D．8[答案]B[解析] 2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2D．[答案]A[解析] x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立．1 x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.二、填空题7．已知a>b>c，则与的大小关系是________．[答案]≤[解析] a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．8．(2015·洛阳市期末)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．[答案][，＋∞][解析]解法1：首先a＝0时不满足题意；若a≠0则由题意得：Δ＝1－8a2≤0，且a>0，解得a≥.解法2：首先若a＝0，显然不合题意，若a<0，显然x＝0满足不等式；∴a>0.令t＝|x|，则t≥0，原不等式化为at2－t＋2a<0，由题意知at2－t＋2a<0在[0，＋∞)上无实数根．从而at2－t＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≥. t>0时，＝≤＝，等号成立时，t＝，即t＝，又t＝0时＝0，∴a≥.三、解答题9．(1)已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>＋＋.[证明](1) a、b、c∈R＋，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c.(2) a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．∴a＋b＋c>＋＋.10．已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．[证明] ≤，∴≥＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．同理≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立)．一、选择题211．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．3C．1＋2D．5[答案]A[解析]由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．12．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析] a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．13．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A．B．C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．14．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋...
