课时分层作业(十八)利用导数解决实际问题(建议用时:40分钟)一、选择题1.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对B[设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当40.所以当x=4时,y最小.]2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18A[要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.]3.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100B.150C.200D.300D[由题意,得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利润P(x)=R(x)-C(x)=所以P′(x)=令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.]4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28000元D.23000元1D[设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以L′(p)=-3p2-300p+11700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23000.因为在p=30附近的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.]5.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为()A.8cmB.9cmC.10cmD.12cmC[设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3,则V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(00,当100),所以y′=2,令y′=0,解得x=200(x=-200舍去),这时y=800.当0200时,y′>0.所以当x=200时,y取得最小值,故其周长至少为800米.]7.已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上,另两个顶点B、C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大为________.[由题意,设矩形边长AD=2x,则AB=4-x2,2∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(00;当0).所以y′=x-.令y′=0,解得x=20.因为当x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减;当x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增,所以当x=20时,y取得最小值,即此轮船以20km/h的速度行驶时,每千米的费用总和最小.]三、解答题9.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以多少千...