高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程课时作业 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2.2.1抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.B.C．|a|D．－解析：因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.答案：B2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析：由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案：B3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是()A．a＋B．a－C．a＋pD．a－p解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.答案：B4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：法一：∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1①，y＝2px2②，两式相减得：y－y＝2p(x1－x2)，化简为＝，∵kAB＝1且AB中点纵坐标为2，∴1＝，∴p＝2，∴准线方程为x＝－1.答案：B二、填空题5．[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.答案：2x＝－16．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．解析：OA的垂直平分线方程为y＝－2x＋，1令y＝0，得x＝，∴焦点F的坐标为(，0)．∴抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－.答案：x＝－7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是__________．(要求填写合适条件的序号)解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题8．[2014·福建省厦门一中期中考试]已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.9．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若AB宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如右图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)．由于点B在抛物线上，所以()2＝－2p·(－)，p＝.所以抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.所以点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.解得a>12.21.因为a取整数，所以a的最小整数值为13.2