【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.5学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.在空间球坐标系中，方程r＝2表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面【解析】由球坐标系的定义知，r＝2表示半球面，故选D.【答案】D2.如图134所示，点M的球坐标为()图134A.B.C.D.【解析】根据球坐标的定义知，M点的球坐标是.【答案】A3.若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()【导学号：12990016】A.(－6,2，4)B.(6,2，4)C.(－6，－2，4)D.(－6,2，－4)【解析】由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4).【答案】A4.设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是()A.B.C.D.【解析】∵r＝＝2，θ＝，z＝3，∴M的柱坐标为，故选C.【答案】C5.设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为()A.B.C.D.【解析】由坐标变换公式，得r＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.∵tanθ＝＝＝1，∴θ＝π，∴M的球坐标为，故选B.【答案】B二、填空题16.设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________.【解析】x＝2cos＝，y＝2sin＝1，z＝7，∴点M的直角坐标为(，1,7).【答案】(，1,7)7.若点M的球坐标为，则点M的直角坐标为________.【解析】设M的直角坐标为(x，y，z)，则∴点M的直角坐标为.【答案】8.在柱坐标系中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z).由(r，θ，z)＝知x＝rcosθ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝.因此|OM|＝＝＝3.【答案】3三、解答题9.已知在球坐标系Oxyz中，M，N，求|MN|.【解】法一：由题意知，|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝，∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6.法二：设M点的直角坐标为(x，y，z)，则故点M的直角坐标为，同理得点N的直角坐标为，∴|MN|＝＝＝6.10.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的球坐标.【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r＝2384＋6371＝8755千米.所以点P的球坐标为.能力提升]1.已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为()【导学号：12990017】A.2B.C.2D.4【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，∵(r，φ，θ)＝，∴2∴M(－2,2,2)，到Oz轴的距离为＝2.故选A.【答案】A2.如图135，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为()图135A.100B.120C.160D.240【解析】由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.【答案】B3.点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________.【解析】x＝ρcosθ＝4cos＝2，y＝ρsinθ＝4sin＝2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝＝5.【答案】54.在柱坐标系中，求满足，的动点M(r，θ，z)围成的几何体的体积.【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r＝1,0≤θ＜2π，0≤z≤2的动点M(r，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱.圆柱的底面半径r＝1，h＝2.所以V＝Sh＝πr2h＝2π.3
