第10讲圆锥曲线中定点、定值问题1.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2，－1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．解：(1)由e＝＝，得a＝2b，所以椭圆C的方程为＋＝1.把P(2，－1)的坐标代入，得b2＝2，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)证明：由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数．设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，其中k≠0.由消去y，得x2＋4[kx－(2k＋1)]2＝8，即(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－8＝0.因为该方程的两根为2，xA，所以2xA＝，即xA＝.从而yA＝.把k换成－k，得xB＝，yB＝.计算，得kAB＝＝＝－，是定值．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，△MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．解：(1)由题意得a2＝1，∴a＝，又b＝c，a2＝b2＋c2，∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)得M(0,1)．当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，x1＋x2＝，x1·x2＝.由k1＋k2＝2，得＋＝2，即＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km，∴m＝k－1，即y＝kx＋m＝kx＋k－1＝k(x＋1)－1，故直线AB过定点(－1，－1)，经检验，当k>0或k<－2时，直线AB与椭圆C有两个交点，满足题意．综上所述，直线AB过定点(－1，－1)．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．解：(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2，＝，a2＝b2＋c2，解得b＝，因此椭圆C2的标准方程为＋＝1.(2)证明：①当直线OP斜率不存在时，PA＝－1，PB＝＋1，则＝＝3－2.当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，所以x＝，同理x＝.所以x＝2x，由题意，xP与xA同号，所以xP＝xA，从而＝＝＝＝3－2.所以＝3－2为定值．②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k1t)2－4(4k＋1)(4t2－4)＝0，即4k－t2＋1＝0，将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x－4)k－2x0y0k1＋y－1＝0，同理可得，(x－4)k－2x0y0k2＋y－1＝0，所以k1，k2为关于k的方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两根，从而k1·k2＝.又点P(x0，y0)在椭圆C2：＋＝1上，所以y＝2－x，所以k1·k2＝＝－为定值．4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的点到两个焦点的距离之和为4，椭圆C的离心率为，A为椭圆C的左顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)圆M：x2＋(y－2)2＝r2(0＜r＜2)．①当r＝1时，过点A作直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ＝，求直线l的方程；②当r变化时，过点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于点B和点D，证明直线BD恒过定点．解：(1)由题意，得解得所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知，A(－2,0)．①当r＝1时，圆M：x2＋(y－2)2＝1，易知直线l的斜率存在且不等于0，设直线l：y＝kl(x＋2)(kl≠0)，则圆心M到直线l的距离d＝，PQ＝2＝2＝，化简得2k－5kl＋2＝0，解得kl＝2或kl＝.所以直线l的方程为y＝2x＋4或y＝x＋1.②证明：由题意可设过点A的圆M的切线方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，则圆心M到切线的距离为＝r，得(4－r2)k2－8k＋4－r2＝...
