第10讲圆锥曲线中定点、定值问题1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.解:(1)由e==,得a=2b,所以椭圆C的方程为+=1.把P(2,-1)的坐标代入,得b2=2,所以椭圆C的方程是+=1.(2)证明:由已知得PA,PB的斜率存在,且互为相反数.设直线PA的方程为y+1=k(x-2),其中k≠0.由消去y,得x2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.因为该方程的两根为2,xA,所以2xA=,即xA=.从而yA=.把k换成-k,得xB=,yB=.计算,得kAB===-,是定值.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,△MF1F2为等腰直角三角形,且其面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.解:(1)由题意得a2=1,∴a=,又b=c,a2=b2+c2,∴b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)得M(0,1).当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2).由可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则Δ=8(2k2-m2+1)>0,x1+x2=,x1·x2=.由k1+k2=2,得+=2,即=2,(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2),(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km,∴m=k-1,即y=kx+m=kx+k-1=k(x+1)-1,故直线AB过定点(-1,-1),经检验,当k>0或k<-2时,直线AB与椭圆C有两个交点,满足题意.综上所述,直线AB过定点(-1,-1).3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2:+=1(a>b>0),C2与C1的长轴长之比为∶1,离心率相同.(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设点P为椭圆C2上的一点.①射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证:为定值;②过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证k1·k2为定值.解:(1)设椭圆C2的焦距为2c,由题意,a=2,=,a2=b2+c2,解得b=,因此椭圆C2的标准方程为+=1.(2)证明:①当直线OP斜率不存在时,PA=-1,PB=+1,则==3-2.当直线OP斜率存在时,设直线OP的方程为y=kx,代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k2+1)x2=4,所以x=,同理x=.所以x=2x,由题意,xP与xA同号,所以xP=xA,从而====3-2.所以=3-2为定值.②设P(x0,y0),所以直线l1的方程为y-y0=k1(x-x0),即y=k1x-k1x0+y0,记t=-k1x0+y0,则l1的方程为y=k1x+t,代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k+1)x2+8k1tx+4t2-4=0,因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点,所以Δ=(8k1t)2-4(4k+1)(4t2-4)=0,即4k-t2+1=0,将t=-k1x0+y0代入上式,整理得,(x-4)k-2x0y0k1+y-1=0,同理可得,(x-4)k-2x0y0k2+y-1=0,所以k1,k2为关于k的方程(x-4)k2-2x0y0k+y-1=0的两根,从而k1·k2=.又点P(x0,y0)在椭圆C2:+=1上,所以y=2-x,所以k1·k2==-为定值.4.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为4,椭圆C的离心率为,A为椭圆C的左顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)圆M:x2+(y-2)2=r2(0<r<2).①当r=1时,过点A作直线l与圆M相交于P,Q两点,且PQ=,求直线l的方程;②当r变化时,过点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于点B和点D,证明直线BD恒过定点.解:(1)由题意,得解得所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,A(-2,0).①当r=1时,圆M:x2+(y-2)2=1,易知直线l的斜率存在且不等于0,设直线l:y=kl(x+2)(kl≠0),则圆心M到直线l的距离d=,PQ=2=2=,化简得2k-5kl+2=0,解得kl=2或kl=.所以直线l的方程为y=2x+4或y=x+1.②证明:由题意可设过点A的圆M的切线方程为y=k(x+2)(k≠0),则圆心M到切线的距离为=r,得(4-r2)k2-8k+4-r2=...