课时作业(二十六)平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．在Rt△ABC中，AB边的高为CD.若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A.a－bB．a－bC.a－bD．a－b答案：D解析：解Rt△ABC，得AB＝，AD＝.即AD＝AB＝(CB－CA)＝a－b，故应D.2．(2015·济南模拟)已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝0答案：C解析：若A，B，C三点共线，则AB＝tAC，即λ1a＋b＝t(a＋λ2b)，∵a，b不共线，∴消去t知，λ1λ2＝1，即λ1λ2－1＝0.故应选C.3．(2015·青岛模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a⊥b答案：A解析：由＋＝0可知，a与b必共线且反向，结合四个选项可知，A正确．4．在△ABC中，BD＝2DC，AD＝mAB＋nAC，则的值为()A．2B．C．3D．答案：B解析：解法一：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，∴m＝，n＝，＝.解法二：∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2(AC－AD)，∴AD＝AB＋AC，得m＝，n＝.∴＝.故应选B.5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案：C解析：由已知，AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．故应选C.二、填空题6．已知AM是△ABC的BC边上的中线，若AB＝m，AM＝n，则AC等于________．答案：2n－m解析：∵AC＋AB＝2AM，∴AC＝2AM－AB＝2n－m.7．如图所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．答案：e1－3e2解析：由题图知，a－b＝BA＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.8．(2014·新课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．答案：90°解析：∵AO＝(AB＋AC)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB，AC〉＝90°.9．(2015·盐城模拟)给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．答案：①②④解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.10．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝OA＋λa＋λb，则动点P的轨迹所过的定点为________．答案：边BC的中点解析：依题意，由OP＝OA＋λa＋λb.得OP－OA＝λ(a＋b)，即AP＝λ(AB＋AC)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则AP＝λAD，∴A，P，D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.三、解答题11．如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取一点Q，使MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．解：AP＝NP－NA＝(BN－CN)＝(BN＋NC)＝BC.QA＝MA－MQ＝BM－λCM＝BM＋λMC.又AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，∴λMC＝(BC－BM)＝MC.∴λ＝.12.如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)如图，延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知，BE＝BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．13．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则BP与BA共线，故存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)．又OP＝mOA＋nOB，故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，∴∴m＋n＝1.
