【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.【解析】 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.【答案】22．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于________.【导学号：09390077】【解析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，AC12＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.【答案】53．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．【解析】AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝＝，∴〈AB，AC〉＝60°.【答案】60°4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.【解析】a·b＝2×3×cos60°＝3，∴|2a－3b|＝＝＝.【答案】5．如图3132,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．图3132【解析】 AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC·AB＝0，BD·AB＝0.又 二面角为120°，∴〈CA，BD〉＝60°，∴CD2＝|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，∴|CD|＝2.【答案】26．如图3133，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．1图3133【解析】分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.则BF＝(－1,0,1)，ED＝(0,1，－1)，∴cos〈BF，ED〉＝＝＝－，∴〈BF，ED〉＝120°.所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.【答案】60°7．如图3134所示，已知直线AB⊥平面α，BC⊂α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．图3134【解析】 AD＝AB＋BC＋CD，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，∴|AD|2＝(AB＋BC＋CD)2＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，∴|AD|＝2.【答案】28．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________.【解析】设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或【答案】或二、解答题9.如图3135，已知正方体ABCDA′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：图3135(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.2【证明】(1)因为AO＝AD＋DO＝AD＋(DD′＋DC)，因为CD′＝DD′－DC，所以AO·CD′＝(DD′＋DC＋2AD)·(DD′－DC)＝(DD′·DD′－DD′·DC＋DC·DD′－DC·DC＋2AD·DD′－2AD·DC)＝(|DD′|2－|DC|2)＝0，所以AO⊥CD′，故AO⊥CD′.(2)因为AC′·B′C＝(AB＋BC＋CC′)·(B′B＋BC)＝AB·B′B＋AB·BC＋BC·B′B＋BC·BC＋CC′·B′B＋CC′·BC，可知AB·B′B＝0，AB·BC＝0，BC·B′B＝0，BC·BC＝|BC|2，CC′·B′B＝－|CC′|2，CC′·BC＝0，所以AC′·B′C＝|BC|2－|CC′|2＝0，所以AC′⊥B′C，所以AC′⊥B′C.同理可证，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.10.如图3136，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，图3136(1)求|EF|；(2)求cos〈AG，BC〉．【解】如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，EF＝，AG＝，BC＝(－a,0,0)．(1)|EF|＝＝.(2)cos〈AG，BC〉＝＝＝.能力提升]1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.【导学号：09390078】【解析】b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值.【答案】2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．【解析】由题意可得...
