课时跟踪检测（十八）双曲线的简单性质一、基本能力达标1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析：选C由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D.解析：选A双曲线标准方程为：y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－.由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B由方程组得a＝2，b＝2. 双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选B由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，所以e＝＝.5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，∴1<<2，解得－12
0，b>0)．由已知条件可得解得1∴双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：－y2＝17．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过P(3，－)，离心率为；(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． e＝，∴＝2即a2＝b2.①又过点P(3，－)有：－＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，双曲线方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．同理有：a2＝b2，③－＝1，④由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.(2)由椭圆方程＋＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，半焦距c1＝＝，所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设条件及双曲线的性质，有解得即双曲线方程为－y2＝1.8．设双曲线－＝1(0a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2.于是双曲线的离心率为2.二、综合能力提升1．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为()A．y2－x2＝96B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80D．y2－x2＝24解析：选D设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.22．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.B.C.D.解析：选D设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b.设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝.故选D.3．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.B．2C.D.解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为. M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是__________．解析：由题意，知≥，则≥3，所以c...
