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【红对勾】高中数学 3-2-3 空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1VIP免费

【红对勾】高中数学 3-2-3 空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1_第1页
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课时作业25空间向量与空间角时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题6分,共36分)1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若〈a,n〉=,则l与α所成的角为()A.B.C.D.图1解析:如图1所示,直线l与平面α所成的角θ=-=.答案:C2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若〈n1,n2〉=,则二面角A-BD-C的大小为()A.B.C.或D.或图2解析:如图2所示,当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于〈n1,n2〉=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于π-〈n1,n2〉=π-=.答案:C3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()1A.B.C.D.图3解析:以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图3,设AB=a,则AD=a,AA1=2a.B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,2a),E(a,0,a),BE=(0,-a,a),CD1=(0,-a,2a),∴cos〈BE,CD1〉===.答案:C4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.图4解析:设BC的中点为O,连接AO,A1O,则由题意知A1O⊥平面ABC,AO⊥BC,以AO,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为2a,则OA1===a,则A(-a,0,0),B(0,-a,0),A1(0,0,a).所以cos〈AB,CC1〉=cos〈AB,AA1〉====.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A.B.C.D.2图5解析:建系如图5,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),E(1,,0),F(0,,1),B1(1,1,1).A1B1=(0,1,0),A1E=(0,,-1),A1F=(-1,,0).设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则,即.令y=2,则.∴n=(1,2,1),cos〈n,A1B1〉==.设A1B1与平面A1EF的夹角为θ,则sinθ=cos〈n,A1B1〉=,即所求线面角的正弦值为.答案:B图66.如图6所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为()A.B.C.D.图7解析:如图7,连结AC,AC∩BD=O,连结OF,以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,设PA=AD=AC=1,则BD=,3∴B,F,C,D,结合图形可知,OC=且OC为面BOF的一个法向量,由BC=,FB=,可求得面BCF的一个法向量n=(1,,).∴cos〈n,OC〉=,sin〈n,OC〉=,∴tan〈n,OC〉=.答案:D二、填空题(每小题8分,共24分)7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、CC1的中点,则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________.图8解析:以A为原点建立直角坐标系(如图8所示),设B(2,0,0),则E(1,0,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),A1(0,0,2),∴EF=(1,2,1),A1C1=(2,2,0),∴cos〈EF,A1C1〉===,∴〈EF,A1C1〉=30°.答案:30°图98.如图9所示,P是二面角α-AB-β棱上一点,分别在α,β内引射线PM,PN,若∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β大小为________.4图10解析:如图10,过M在α内作MF⊥AB,过F在β内作FN⊥AB交PN于点N,连结MN. ∠MPB=∠NPB=45°,∴△PMF≌△PNF.设PM=1,则:MF=NF=,PM=PN=1,又 ∠MPN=60°,∴MN=PM=PN=1,∴MN2=MF2+NF2,∴∠MFN=90°.答案:90°9.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,给出下列四个结论:①AC⊥BD;②AB、CD所成角为60°;③△ADC为等边三角形;④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________.(请将你认为是真命题的序号都填上)解析:如图11将正方形①取BD中点O,连结AO、CO,易知BD垂直于平面AOC,故BD⊥AC;②如图11建立空间坐标系,设正方形边长为a,则A(a,0,0),B(0,-a,0),故AB=(-a,-a,0),C(0,0,a),D(0,a,0),故CD=(0,a,-a),由两向量夹角公式得:cos〈CD,AB〉=-,故两异面直线所成的角为;图11③在直角三角形AOC中,由AO=CO=a解得:AC=AO=a,故三角形ADC为等边三角形.④易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角,可求得:∠ABO=45°,故④错.答案:①②③三、解答题(共40分)5图1210.(10分)如图12在长方体ABCD-A1B1C1D1...

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