高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明互动课堂苏教版选修2-2疏导引导1.综合法也是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反),即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题结论的真实性.简言之,综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法.应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时,命题得证.同分析法一样,并非一上来就能找出通达命题结论的思路,只是在将证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.当然,在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思路.而在证明的叙述时,直接叙述这条思路就够了.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可表示如下:PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQ.案例1如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证:PC⊥BD.证明:(综合法)因为PA是平面ABCD的垂线，PC是平面ABCD的斜线,连结AC、BD，则AC是PC在底面ABCD内的射影.又因为四边形ABCD为正方形.∴AC⊥BD.故PC⊥BD.【规律总结】本例图形具有很多性质，从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直来证线线垂直，也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量)等等.一般地，对于命题“若A则D”用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.最终，能有一个(或多个)可推演出结论D即可.2.分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体说,即先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步1推出保证此结论成立的必要的判断.而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证(应该强调的一点是它不由命题的结论去证明前提).用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有……这只需证明命题P2为真，从而有…………这只需证明命题P为真.而已知P为真，故Q必真.可见分析是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.因此,分析法是一种执果索因的证明方法,这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.一般来讲,分析法有两种证明途径:(1)由命题结论出发,找结论成立的充分条件,逐步推演下去;(2)由命题结论出发,找结论成立的必要条件,逐步推演下去.应该指出,应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确,各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考察,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道前面各步推理的适当与否,从而找出证明的路子.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效.另外对于恒等式的证明,也同样可以运用.案例2已知x＞0，y＞0，求证：.【探究】本题若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系，因而可试用分析法.【证明】要证明只需证：(x2+y2)3＞(x3+y3)2，即证：x3+3x4y2+3x2y4+y6＞x6+2x3y3+y6，即证：3x4y2+3x2y4＞2x3y3. x＞0,y＞0,∴x2y2＞0,即证：3x2+3y2＞2xy, 3x2+3y2＞x2+y2≥2xy,∴3x2+3y2＞2xy成立，【规律总结】用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C1、C2等，再寻求C、C1、C2的论据，如B、B1、B2、B3、B4等等，继而寻求B...