高考数学异构异模复习 第十四章 推理与证明 14.2 直接证明与间接证明撬题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

2018高考数学异构异模复习考案第十四章推理与证明14.2直接证明与间接证明撬题理1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设为方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.2.已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值．解(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．由an＋1＝可归纳证明对任意的n≥k，an是3的倍数．如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．从而对任意的n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．(3)由a1≤36，an＝可归纳证明an≤36(n＝2,3，…)．因为a1是正整数，a2＝所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，an是4的倍数．如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an是3的倍数．因此当n≥3时，an∈{12,24,36}．这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an不是3的倍数．因此当n≥3时，an∈{4,8,16,20,28,32}．这时M的元素个数不超过8.当a1＝1时，M＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.3．设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.证明由题意得，Sn＝na＋d.(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，从而有由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.