第3课时三个正数的算术—几何平均不等式A．基础巩固1．若a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c＝时＋＋取得最小值，且最小值为9.故选A．2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式一定成立的是()A．V≥πB．V≥πC．V≤πD．V≤π【答案】C【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，V＝πr2h≤π·3＝π.故选C．3．已知x，y，z均为正数，＋＋＝1，则＋＋的最小值是()A．1B．3C．3D．3【答案】A【解析】∵x，y，z均为正数，＋＋＝1，∴＝1(x，y，z均为正数)．∵＋＋＝＝≥＝1，当且仅当x＝y＝z＝3时等号成立．故选A．4．设0＜x＜，则y＝x2(1－2x)的最大值为()A．1B．C．D．【答案】C【解析】∵0＜x＜，∴y＝x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤3＝，当且仅当x＝x＝1－2x，即x＝时取得最大值.5．函数y＝3x＋(x＞0)的最小值为()A．6B．3C．9D．15【答案】C【解析】∵x＞0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3·＝9.当且仅当＝＝即x＝2时，y＝3x＋(x＞0)的最小值为9.6．已知a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．【答案】6＋4【解析】∵a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，当且仅当a＝c＝b时等号成立．∴＋＋的最小值为6＋4.7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R且为常数)和g(x)＝2x＋的定义域均为，如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，则函数f(x)在上的最大值为__________．【答案】4【解析】g(x)＝2x＋＝x＋x＋≥3，当且仅当x＝，即x＝1时g(x)取得最小值3.由已知当x＝1时，f(x)有最小值3，所以－＝1，且1＋b＋c＝3.解得b＝－2，c＝4，故f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，又(2－1)2＞2，从而f(x)的最大值为f(2)＝4.B．能力提升8．已知a，b，c为正实数，求证：(1)≥9；(2)(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.【证明】(1)因为a，b，c∈R＋，所以＋＋≥3＝3，1＋＋≥3＝3.故≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．(2)因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3.所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9abc.故(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.2
