第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及平面向量的应用课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考大纲全国卷)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.解析：利用向量的运算列式求解．由题意知即将①×2－②得，2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝.答案：B2．(2015·高考重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析： a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0. |b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝π.答案：C3．(2014·高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D.解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.答案：C4．(2015·高考湖北卷)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝__________.解析：因为OA⊥AB，所以OA·AB＝OA·(OB－OA)＝OA·OB－OA2＝0，所以OA·OB＝OA2＝|OA|2＝9，即OA·OB＝9.答案：95．(2016·洛阳统考)若△ABC的面积为2，且角B＝，则AB·BC＝__________.解析：依题意得acsinB＝ac＝2，ac＝8，AB·BC＝－cacosB＝－8×cos＝－4.答案：－46．(2016·杭州质检)已知非零向量AB，AC和BC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为________三角形．解析： ·BC＝0，∴cosB＝cosC.∴△ABC为等腰三角形．又 ·＝，∴cos〈AC·BC〉＝.∴〈AC·BC〉＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边7．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝.8．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．解：(1)证明： m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.[B级能力突破]1．(2015·厦门质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，得PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案：C2．(2015·高考四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6解析：如图所示，由题设知：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，∴AM·NM＝·＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9.答案：C3．(2016·辽宁五校联考)在△ABC中，若(CA＋CB)·AB＝|AB|2，则()A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是钝角三角形D．△ABC的形状不能确定解析：依题意得，(CA＋CB)·(CB－CA)＝|AB|2，即CB2－CA2＝|AB|2，|CB|2＝|CA|2＋|AB|2，CA⊥AB，因此△ABC是直角三角形．答案：B4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．解析： AO＝(AB＋AC)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的...
