2.3.2抛物线的简单几何性质[A基础达标]1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：选D.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2解析：选C.由抛物线定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，所以|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选C.3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A.B．2C.D．15解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]解析：选C.由题意知点Q的坐标为(－2，0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故直线l的斜率存在，且设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程y2＝8x联立，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然符合题意；当k≠0时，需Δ≥0，即16(k2－2)2－4k2·4k2≥0，解得－1≤k<0或0＜k≤1.5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B.因为抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.6．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．1解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，所以x0＝4，所以y＝16，所以y0＝±4.答案：(4，±4)7．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.又⇒x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.答案：78．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．解析：焦点在x轴正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，代入点(，)得p＝，所以所求方程为y＝x；焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，所以p＝，所求方程为y＝－x.综上，所求方程为y2＝±x.答案：y2＝±x9．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36的短轴所在直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．解：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，得抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有||＝3，所以|a|＝12，即a＝±12.故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－12x.10．已知抛物线y2＝8x，且在抛物线上的弦AB被点Q(4，1)平分，求AB所在的直线方程．解：若弦AB⊥Ox，则其中点是(4，0)，不是Q(4，1)，所以可设弦AB所在的直线方程：y－1＝k(x－4)．列方程组消去x并化简，得ky2－8y－32k＋8＝0.设弦AB端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝.又Q(4，1)为弦AB的中点，所以＝1，即y1＋y2＝2，所以＝2，所以k＝4.所以所求直线方程是y＝4x－15.[B能力提升]11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．42C．6D．8解析：选B.由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.12．在直角坐标系xOy中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A、B两点，则OA·OB的取值范围为________．解析：设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b.所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，所以OA...
