课时作业24空间向量与垂直关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情况均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.答案：B2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，n·AB＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥AB，n⊥AC.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：A3．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA·AB＝0B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0D.PA·CD＝0解析： PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.答案：C4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若c·a＝0且c·b＝0⇒/l⊥α，原因是a可能与b共线，而l⊥α则一定有c·a＝0且c·b＝0成立．故选B.答案：B5．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于()A．(，－，4)B．(，－，－3)C．(，－，4)D．(，，－3)解析：由AB·BC＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又BP⊥平面ABC，∴，即1解得.答案：B6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A图1解析：建立如图1坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(，，1)．∴CE＝(，，1)－(0,1,0)＝(，－，1)．AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(，－，1)·(－1，－1,0)＝－＋＋0＝0.∴CE⊥BD，∴CE⊥BD.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于________．解析： AB＝(－2，－6，－2)，AC＝(－1,6，λ－3)，AB·AC＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.答案：－148．已知A，B，C的坐标为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为________．解析：利用向量垂直的条件．答案：9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．解析：由AP·AB＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB；由AP·AD＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，由①②知AP是平面ABCD的法向量，易知AP不平行BD，所以①②③正确．答案：①②③2三、解答题(共40分)10．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.图2证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度．以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(1,1，)，F(0，，0)，所以D1F＝(0，，－1)，AD＝(－1,0,0)，AE＝(0,1，)．所以D1F·AD＝0，D1F·AE＝0＋－＝0.所以D1F⊥AD且D1F⊥AE，即D1F⊥AD，D1F⊥AE.又AE∩AD＝A，所以D1F⊥平面ADE.图311．(15分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.3图4证明：以C为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M(，，1)．所以AM＝(－，－，1)，DF＝(0，，1)，BD＝(，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD，n⊥DF，所以⇒取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．因为AM＝(－，－，1)，所以n＝－AM，得n与AM共线．所以AM⊥平面BDF.图512．(15分)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．(1)证明平面AD1F⊥平面ADE.(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.解：(1)不妨设...
