2018高考数学异构异模复习考案第六章数列6.4.2数列的综合应用撬题文1．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9答案D解析由题可知a，b是x2－px＋q＝0的两根，∴a＋b＝p>0，ab＝q>0，故a，b均为正数．∵a，b，－2适当排序后成等比数列，∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，∴q＝4.又a，b，－2适当排序后成等差数列，所以－2是第一项或第三项，不防设a0，∴a＝1，此时b＝4，∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，选D.2.设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.答案3n－1解析由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案－解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.4.设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.解(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝22…2.当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝.所以Tn>2×××…×＝.综上可得对任意的n∈N*，都有Tn≥.5．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意，a2－＝2－，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.6．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.解(1)由题意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝()＝8，又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)．②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝，而－＝>0，得≤<1.所以，当n≥5时，cn<0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.7．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．解(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”．(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.因为d<0，所以m－2<0，故m＝1，从而d＝－1.当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am.所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.(3)证明：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*)．下证{bn}是“H数列”．设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N*)．于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm.所以{bn}是“H数列”．同理可证{cn}也是“H数列”．所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
