1.5.1二项式定理[A基础达标]1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．8解析：选B.因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B.2.展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析：选C.Tk＋1＝C(x2)5－k()k＝C2kx10－5k，令10－5k＝0得k＝2.所以常数项为T3＝C22＝40.3．在(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3B．5C．8D．10解析：选B.Tk＋1＝C(2x3)n－k＝2n－kCx3n－5k，令3n－5k＝0，则n＝k，又n∈N*，k∈N，所以n的最小值为5.4．二项式的展开式中的有理项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项解析：选C.二项式的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C·2r·x20－.令20－为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，共6项．故选C.5．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝()A．4B．6C．8D．10解析：选A.由题意可知C32＝54，所以C＝6，解得n＝4.6．已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，则该展开式中x2的系数为________．解析：本题是二项式定理问题，Tr＋1＝C()n－r＝2rCxnr，因为第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，所以＝，n∈N*，解得n＝10，令n－r＝2，解得r＝2，所以x2的系数为22C＝180.答案：1807．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．解析：因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－k＝Cx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C，1所以的系数为C＝56.答案：568．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．解析：(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·()r＝Ca5－rx10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.答案：－29．求的展开式的常数项．解：法一：因为＝，所以展开式的通项为Tr＋1＝C··(－1)r(0≤r≤5)．当r＝5时，T6＝C·(－1)5＝－1；当0≤r＜5时，的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5－r－k·＝C·x5－r－2k(0≤k≤5－r)．因为0≤r<5，且r∈Z，r＋2k＝5，所以r只能取1或3，此时相应的k值分别为2或1，即或所以常数项为C·C·(－1)1＋C·C·(－1)3＋(－1)＝－51.法二：因为＝··…·5个，所以常数项为Cx·C·(－1)3＋Cx2·C·(－1)＋C·(－1)5＝－51.10．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)n－k·(－)k＝(－1)k()n－kCx2nk.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6()4C＝.(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．[B能力提升]1．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12解析：选B.x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.2．(x2＋2)的展开式的常数项是________．2解析：第一个因式取x2，第二个因式取得：1×C(－1)4＝5，第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2，展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：33．已知在的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cx·x＝Cx，因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C＝.(3)根据通项公式，由题意，令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N*，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为Cx2，C，C(－)8x－2.4．(选做题)利用二项式定理证明3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．证明：因为n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1.3
