高中数学 第一章 解直角三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算学业分层测评 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

三角形中的几何计算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()【导学号：18082071】A.B.C.或D.或【解析】由正弦定理＝，得sinC＝，则∠C＝60°或120°，所以∠A＝90°或30°.因为S△ABC＝AB·ACsinA＝sinA，所以S△ABC＝或.【答案】D2.在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为()A.B.C.D.【解析】 S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝1＋16－2×1×4×＝13.∴a＝.【答案】D3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，∠C＝，则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3【解析】已知c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①， ∠C＝，∴c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.【答案】C4.在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠B＝60°，则BC边上的高等于()【导学号：18082072】A.B.C.D.【解析】在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.整理得AB2－2AB－3＝0.解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝.【答案】B5.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且∠A>∠B>∠C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4【解析】由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，所以3b＝20acosA＝20(b＋1)·＝20(b＋1)·，整理得7b2－27b－40＝0，解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.结合正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.1【答案】D二、填空题6.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________.【解析】画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝.【答案】7.有一三角形的两边长分别为3cm,5cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.【解析】解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－， |cosα|≤1，∴cosα＝－，sinα＝.故S△＝×3×5×＝6(cm2).【答案】68.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则△ABC的面积为________.【解析】由sinC＝cosC得tanC＝＞0，所以∠C＝.根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sinA＝.因为AB＞BC，所以∠A＜∠C，所以∠A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.【答案】三、解答题9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.【导学号：18082073】【解】(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0).则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝，所以sinA＝＝.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.10.四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求∠C和BD；(2)求四边形ABCD的面积.【解】(1)连接BD， ∠A＋∠C＝180°，∴cosA＝－cosC，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②由①，②得cosC＝，故∠C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积2S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝·sin60°＝2.[能力提升]1.已知锐角△ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为，则AB·AC的值为()A.2B.－2C.4D.－4【解析】由题意S△ABC＝|AB||AC|sinA＝，得sinA＝，又△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴AB·AC＝|AB||AC|cosA＝2.【答案】A2.在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.【解析】由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，所以角A＝.【答案】A3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为___...