高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理达标练习（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：通项公式Tr＋1＝C(x2)5－r＝2rCx10－3r，令10－3r＝4可得r＝2，则x4的系数为22C＝40.答案：C3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝()A．4B．5C．6D．7解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.答案：B4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.答案：D5．在(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有()A．4项B．3项C．2项D．1项解析：(＋)12的展开式的通项为Tr＋1＝C()12－r()r＝Cx6－(0≤r≤12)，6－(0≤r≤12)为正整数，有3项，即r＝0，r＝6，r＝12时．答案：B二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．解析：Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝(－2)rC·xr，令r＝2，得T3＝(－2)2Cx2＝60x2.故x2的系数为60.答案：607．若在(1＋ax)5的展开式中，x3的系数为－80，则a＝________．解析：Tr＋1＝C(ax)r＝Carxr，1x3的系数为Ca3＝－80，解得a＝－2.答案：－28．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.答案：8三、解答题9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a1＋a2＋…＋a10；(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，故a1＋a2＋…＋a10＝－32.(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．解：Tr＋1＝C()n－r＝Cxn－r.由前三项系数的绝对值成等差数列，得C＋C＝2×C，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)展开式的第四项为：T4＝Cx＝－7.(2)当－r＝0，即r＝4时，常数项为C＝.B级能力提升1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.答案：B2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，解得a＝2(舍去a＝－2)．答案：23．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．解：x项的系数为C＋C＝19，即m＋n＝19，当m，n都不为1时，x2项的系数为C＋C＝＋＝m2－19m＋1712＝＋171－，因为m∈N*，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.当m为1或n为1时，x2项的系数为C＝153>81，所以f(x)中x2项系数的最小值为81.3