课时作业26空间向量与空间距离时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若O为坐标原点，OA＝(1,1，－2)，OB＝(3,2,8)，OC＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B．2C.D.解析：OP＝(OA＋OB)＝(4,3,6)＝(2，，3)，而OC＝(0,1,0)，∴PC＝OC－OP＝(－2，－，－3)，|PC|＝＝.答案：D2．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边长的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．6解析：AB＝(4，－5,0)，AC＝(0,4，－3)，则AB在AC上的投影d＝＝4.而|AB|＝，∴AC边上的高BD＝＝5.答案：C3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.D.解析：d＝＝＝.答案：D图14．点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2.则P到平面BQD的距离为()1A.B.C.D.图2解析：如图2，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，QB＝(3,0，－1)，BD＝(－3,4,0)，QP＝(0,0,1)，设平面BQD的法向量n＝(x，y，z)，由得令x＝4，则z＝12，y＝3，∴n＝(4,3,12)．∴P到平面BQD的距离d＝＝.答案：B5．(2011·全国高考)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为重足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.B.C.D．1解析： AB＝AC＋CD＋DB，∴|AB|2＝|AC|2＋|CD|2＋|DB|2，∴|CD|2＝2.在Rt△BDC中，BC＝. 面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，∴DH的长即为D到平面ABC的距离，∴DH＝＝＝.故选C.答案：C6．已知二面角α－l－β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为()A.B．2C．2D．4图32解析：作PM⊥β，QN⊥α，垂足分别为M、N.分别在面α、β内作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E、F，如图3所示，连接ME、NF，则ME⊥l，∴∠PEM为二面角α－l－β的平面角．∴∠PEM＝60°.在Rt△PME中，|PE|＝＝＝2，同理|QF|＝4.又PQ＝PE＋EF＋FQ，∴|PQ|2＝4＋|EF|2＋16＋2PE·EF＋2PE·FQ＋2EF·FQ＝20＋|EF|2＋2×2×4cos120°＝12＋|EF|2.∴当|EF|2取最小值0时，|PQ|2最小，此时|PQ|＝2.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．如图4，已知在60°的二面角α－l－β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.图4解析： AC⊥l，BD⊥l，α－l－β为60°的二面角，∴〈CA，DB〉＝60°. AB＝AC＋CD＋DB，∴AB2＝AC2＋CD2＋DB2＋2AC·CD＋2AC·DB＋2CD·DB.∴52＝12＋CD2＋4＋2·|AC||DB|×cos〈AC，DB〉．∴CD2＝20－2×1×2×cos120°＝22.∴|CD|＝.答案：图58．在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．3解析：分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图5，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，∴PC＝(2,2，－2)，BC＝(2,0,0)．设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取y＝1，则n＝(0,1,1)．又BD＝(1，－2,0)，∴点D到平面PBC的距离为＝.答案：9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．解析：建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0)，如图6所示，图6设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1D1＝0，n·A1E＝0，即∴－ax＝0，ay－z＝0.∴令z＝2，得n＝(0,1,2)．又FD1＝(0，－，a)，∴所求距离d＝＝＝a.答案：a三、解答题(共40分)图710．(10分)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明DE∥平面PFB；4(2)求点E到平面PFB的距离．解：(1)证明：以D为原点，建立如图8所示的坐标系，图8则P(0,0,2)、F(1,0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)．FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)．∴DE＝FP＋FB.∴DE∥平面PFB.又 D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则...
