核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于()A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020·宿州模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于()A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为()A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019·温州模拟)若ab>0,则的最小值为()A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab>0,所以=+≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为()A.B.2C.D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则+的最小值是()A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是()A.B.2C.D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数,当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知a>b>0,则a2+的最小值是________.【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019·阳泉模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________.【解析】函数y===x+1+=(x-1)++2(x<1),因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=的最大值为0.答案:00(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是()A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;因为a+b≥2>0,所以≤,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为()A.3B.1C.D.【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=×=++≥+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________.【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=[(x+1)+(y+2)]+=≥=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为c,则ab的最小值为________.【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcosC=c2,可得cosC=-,所以sinC=.由三角形面积公式,可得c=absinC代入化简可得c=,代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,所以ab的最小值为48.答案:48
