高中数学3.7点到平面的距离同步精练湘教版选修2-11正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为()．A．aB．aC．D．a2若a∥β，a⊂α，α与β间的距离为d，则在平面β内与直线a相距为2d的直线有()．A．1条B．2条C．0条D．无数条3已知平面α过A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)三点，则原点O到平面ABC的距离为()．A．3B．C．1D．4边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为()．A．B．C．D．5四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，若异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则点B到平面ACD的距离是()．A．B．C．D．6在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°，则点C1到平面AB1C的距离是__________．7如图，在正方体AC1中，已知棱长为2，则直线AC与BC1之间的距离是__________．8已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面α，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离是__________．1参考答案1.解析：由点到平面的距离公式可得．答案：C2.解析：过a作一个与α垂直的平面γ与β交于c，则a∥c，a与c之间的距离为d，在直线c的两侧且与c距离为d的直线有两条，这两条直线与直线a的距离为2d.答案：B3.解析：＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，设n＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则∴取z＝1，则x＝1，y＝1，∴n＝(1,1,1)．∴O到平面ABC的距离为＝＝.答案：D4.解析：以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系，则E(1,1，)，F(0,1，)，G(0,0，)，D1(0,0,1)，∴＝(－1,0,0)，＝(0，－1，)．设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，∴令z＝6，则y＝－1，x＝0，∴n＝(0，－1,6)．又＝(0,1，)，∴.答案：A25.解析：以点B为坐标原点，分别以BC，BA，BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有A(0,2,0)，C(2,0,0)，E(1,1,0)．设D点坐标为(0,0，z1)(z1＞0)，则＝(1,1,0)，＝(0，－2，z1)．设与所成的角为θ，由图形分析知BE与AD所成的角为π－θ，而·＝，∴，即，解得z1＝4(负值舍去)，即D(0,0,4)．设向量n＝(x，y，z)是平面ACD的一个单位法向量，则n⊥，n⊥，由＝(2，－2,0)，＝(0，－2,4)，得取这个方程组的一个解∴n＝．又＝(0,0,4)，∴点B到平面ACD的距离.答案：A6.解析：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt△B1BC中，BB1＝1，∠B1CB＝30°，3∴，B1C＝2.∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0，，1)，则＝(1,0,1)，＝(0，，0)，＝(－1，，0)．设n＝(x，y，z)是由C1向平面AB1C所作垂线上的方向单位向量．则n⊥，且n⊥，则此即解得n＝(，0，－)(另一种情况舍去)，∴·n＝(－1，，0)·(，0，－)＝－.则d＝＝|－|＝为所求的距离．答案：7.解析：建立空间坐标系如图所示，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)．∴＝(－2,0,2)，＝(－2,2,0)．∴设，的一公垂线的方向向量为n＝(x，y,1)．∵n·＝0，∴－2x＋2y＝0.①∵n·＝0，∴－2x＋2＝0.②联立①②解得∴n＝(1,1,1)．∵＝(0,2,0)，∴AC，BC1之间距离为4d＝＝＝.答案：8.解析：如图，以C为原点，CD，CB，CG分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．＝(2,4，－2)，＝(4,2，－2)，设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则n·＝2x+4y－2z＝0，n·＝4x+2y－2z＝0.令x＝1得y＝1，z＝3.∴n＝(1,1,3)，而＝(－2,0,0)．∴点B到平面EFG的距离d＝＝.答案：5
